Curvas no Espaço | Operações Elementares de Funções Vetoriais

Uma função de uma variável a valores em \mathbb{R}^n é uma função F:A \rightarrow \mathbb{R}^n, onde A é um subconjunto de \mathbb{R}.

Esta função associa a cada t \in \mathbb{R} um vetor do \mathbb{R}^n.

O conjunto A é o domínio da função F, que consideraremos sempre como um intervalo ou uma união de intervalos, e notado por D_F.

O conjunto $$ImF=\left\{F(t) \in \mathbb{R}^n ; t \in D_F \right\}$$ é a imagem ou a trajetória de F.

Esta função é, por muitas vezes, denominada de função vetorial ou curva.

FUNÇÕES COMPONENTES

Seja F:A \rightarrow \mathbb{R}^n uma função vetorial .

Então existem, e são únicas, n funções de valores reais F_i: A \rightarrow \mathbb{R},\;\;\; i=1,2,3,...,n, tais que, qualquer que seja t \in A $$F(t) = \left( F_1(t), F_2(t),…, F_n(t) \right).$$

Tais funções são denominadas funções componentes de F e escrevemos F= \left( F_1, F_2,...,F_n \right) para indicar a função cujas componentes são F_1, F_2,..., F_n.

EXEMPLO

Seja F(t)=(\cos t , \sin t , t)\;\;\;t \in \mathbb{R}.

As componentes de F são as funções F_1 (t) = \cos t, F_2 (t) = \sin t e F_3 (t) = t e podem ser referenciadas por x = \cos t,\;\;\; y=\sin t e z = t.

EXEMPLO

Seja F a função definida por F(t)=(t,2t). Desta forma,

1. o domínio de F é o conjunto dos números reais.
2. F(0)=(0,2.0) = (0,0).

A imagem de F pode ser representada pela figura abaixo

EXEMPLO

Seja F(t)=(cost, sent), t \in [0, 2\pi].

1. F(0)=(1,0)
2. A imagem de F é dada por $$\left\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 ; x^2+y^2 = 1\right\}$$
3. Essa função vetorial expressa o movimento de uma partícula P sobre uma cirfunferência de raio 1. Neste caso, a variável t representa o tempo e a função F(t) nos dá a posição da partícula em movimento.

EXEMPLO

Seja F(t)=(2cost, sen t)\;\;\; t \in [0, 2\pi].

A imagem de F é dada pela representação abaixo:

EXEMPLO

Seja F(t)=(t,t,t)\;\;\;t\geq 0.

Qual a imagem de F?

EXEMPLO

Em Economia podemos estabelecer uma função vetorial preço. Consideremos três mercadorias tais que a primeira tem preço t^2 , a segunda tem preço t+2 e aterceira tem preço dado pela soma dos preços das duas primeiras.

Nesse caso, a função preço é dada por $$\vec{P}(t) = (t^2, t+2, t^2 + t +2).$$

Hodógrafo

O hodógrafo de uma função vetorial F(t) = (F_1 (t), F_2(t), F_3 (t)), \;\;\; t\in I, é o lugar geométrico dos pontos do espaço que têm vetor posição \vec{F} (t), \;\;\; t\in I,

Existe uma estreita ligação entre as funções vetoriais de uma variável real e as curvas no espaço. Por exemplo, se F(t) é o vetor posição de uma partícula em movimento, o hodógrafo de F(t) coincide com a trajetória da partícula.

Operações Algébricas entre Funções Vetoriais

Sejam F,G: A \rightarrow \mathbb{R} duas funções vetoriais, f: A \rightarrow \mathbb{R} e k uma constante.

Definimos:

1. F+G: A \rightarrow \mathbb{R}^n por $$ F+G (t) = F(t) + G(t)$$
2. kF: A \rightarrow \mathbb{R}^n por $$ (kF) (t) = kF(t)$$
3. fF: A \rightarrow \mathbb{R}^n por $$ (fF )(t) = f(t)F(t)$$
4. F.G: A \rightarrow \mathbb{R}^n por $$(F.G)(t)=F(t).G(t)=F_1(t)G_1(t)+F_2(t)G_2(t)+…+F_n(t)G_n(t)$$
5. Sejam F,G: A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^3. (F\wedge G):A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^3é definido por $$
   (F \wedge G)(t) = F(t) \wedge G(t) = \left|
   \begin{array}{ccc}
   i & j & k \\
   F_1(t) & F_2(t) & F_3 (t)\\
   G_1(t) & G_2(t) & G_3(t)
   \end{array} \right|
   $$

EXEMPLO

Sejam F(t), G(t) e f(t) definidas em \mathbb{R}, e dadas por F(t)=(\cos 3t, \sin 2t, t^2), G(t) = (3, t^3, \arctan t) e f(t)=e^{-2t}.

Temos que

1. (F+G)(t) = (\cos 3t, \sin 2t, t^2) + (3, t^3, \arctan t) = (\cos 3t + 3, \sin 2t + t^3, t^2+ \arctan t)
2. (3F)(t) = (3 \cos 3t, 3 \sin 2t, 3 t^2)
3. (f.F)(t) = (e^{-2t} \cos 3t, e^{-2t} \sin 2t, e^{-2t} t^2)
4. (G.F)(t) = 3 \cos 3t +t^3 \sin 2t + t^2 \arctan t
5. (F \wedge G)(t) = \left|\begin{array}{ccc}i & j & k \\\cos 3t & \sin 2t & t^2\\3 & t^3 & \arctan t\end{array} \right| = k(t^3 \cos(3t)-3 \sin(2t))-j(\arctan(t) \cos(3t)-3t^2)+i(\arctan(t) \sin(2t)-t^5)

Leia Mais:

• Os Espaços Euclidianos R² e R³ | Cálculo de Várias Variáveis
• Curvas | Reta Tangente, Curvatura, Torção e Fórmulas de Frenet
• Curvas no Espaço | Parametrização, Comprimento de Arco e Deslocamento de Partícula
• Curvas no Espaço | Lista de Exercícios Resolvidos

Assista Nossa Vídeo-Aula no Youtube: