A Equação da Corda Vibrante ou da Onda Unidimensional

Nesta seção queremos determinar um modo de resolver a equação da onda unidimensional apresentada no primeiro exemplo do artigo anterior. Como nosso objetivo é estritamente do ponto de vista da solução da EDP que aparece nesta aplicação física, a dedução desta equação, neste momento, será deixada de lado.

Esta equação se aplica às pequenas vibrações transversais de uma corda flexível, fixa nas extremidades, tensa, tal como a corda de uma guitarra, ou um violino. A função u(x,t) é o deslocamento de um ponto arbitrário x da corda no instante t . A constante c^2 = \dfrac{ \tau}{\mu} ; onde \tau é a tensão (constante) da corda e \mu é a massa (constante) por unidade de comprimento da corda.

Supõe-se que não haja forças externas atuando sobre a corda e que esta vibre somente em função de sua elasticidade.

A Equação das Cordas Vibrantes ou da Onda Unidimensional.

As vibrações de uma corda elástica são governadas pela equação das ondas unidimensional que é dada por $$\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2},$$ onde u(x,t) é o deslocamento vertical da corda vibrante.

Considerando que a corda está fixada nos limites x=0 e x=l, temos duas condições de contorno u(0,t) = 0 e u(l,t) = 0 para todo t.

É claro que o movimento da corda dependerá do deslocamento vertical inicial e da velocidade inicial, ambos dados no instante t=0. Desta forma, obtemos duas condições iniciais $$u(x,0) = f(x)$$ e $$\frac{\partial u}{\partial t} \left|_{t=0} = g(x) \right. $$

Queremos encontrar uma solução da equação das vibrações da corda elástica que satisfaça as condições de contorno e iniciais.

O Método da Separação das Variáveis

Observe que u(x,t) = 0 é solução da equação das ondas unidimensional., também conhecida como solução trivial. Queremos encontrar soluções da equação acima tal que u(x,t) \neq 0.

Considere que a equação $$\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2},$$ possua solução dada por $$u(x,t) = F(x)G(t).$$ Dada desta forma, nossas condições de contorno nos dizem que F(0) = 0 e F(l) = 0, pois se G(t) = 0 então u(x,t) = 0.

Por diferenciação, $$\frac{\partial u}{\partial t} = F(x)G'(t)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} = F(x)G”(t)$$ $$\frac{\partial u}{\partial x} = \dot{F}(x)G(t)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} = \ddot{F}(x)G(t).$$

Substituindo na equação diferencial obtemos $$\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \Leftrightarrow F(x)G”(t) = c^2 \ddot{F}(x)G(t)$$
donde obtemos $$\frac{G”(t)}{G(t)} = c^2 \frac{\ddot{F}(x)}{F(x)}$$

Observe que \frac{G''(t)}{G(t)} é uma função restritamente à variável t e \frac{\ddot{F}(x)}{F(x)} é uma função restritamente à variável x.

Sendo assim, $$\frac{G”(t)}{c^2 G(t)} = \frac{\ddot{F}(x)}{F(x)} = k (constante).$$ Por consequência, encontramos duas equações diferenciais de segunda ordem dadas por

\begin{eqnarray*}
G”(t) – c^2 k G(t) & = & 0\\
\\
\ddot{F}(x) – k F(x) & = & 0\\
\end{eqnarray*}

Observe que k \neq 0, pois, caso contrário, u(x,t) = 0.

Solucionando a Equação de F

Se k>0 então a equação característica da equação diferencial é dada por $$\lambda ^2 -k = 0$$ que nos fornece uma solução $$F(x) = A e^{-\sqrt{k}x}+Be^{\sqrt{k}x}.$$

Pelas condições iniciais $$F(0) = A + B = 0 \Leftrightarrow A=-B$$ e $$F(l) = A e^{-\sqrt{k}l}+Be^{\sqrt{k}l} = -B e^{-\sqrt{k}l}+Be^{\sqrt{k}l} = 0 \Leftrightarrow B = 0 \Rightarrow A=0,$$ ou seja, F(x) = 0 se k>0.

Desta forma, devemos ter que k<0. Sendo assim, tomando k = -p^2, obtemos $$F(x) = A \cos{px}+B\sin{px}.$$ Pela condições iniciais, $$F(0) = A = 0$$ e $$F(L) = B\sin{pl} = 0 \Leftrightarrow pl = n\pi \Leftrightarrow p = \frac{n \pi}{l}.$$

Desta forma, podemos dizer existem infinitas funções dadas por $$F_n (x) = B \sin{\left( \frac{n \pi}{l} x \right)}$$ que satisfazem a equação acima. Porém, cada solução possui coeficientes B que podem variar de solução para solução. Portanto, é usual escrever $$F_n (x) = B_n \sin{\left( \frac{n \pi}{l} x \right)}.$$

Solucionando a equação de G

Já sabemos que $$k = -p^2 = – \left( \frac{n \pi}{l} \right)^2.$$ Assim, $$c^2 k = -\left( c \frac{n \pi}{l} \right)^2 $$ e considerando q = \frac{cn \pi}{l} encontramos infinitas funções G_n(t) = C \cos{q t} + D \sin{qt} que satisfazer a equação em questão.

Porém, cada função possui coeficientes C e D que podem variar. Sendo assim, é comum escrever $$G_n(t) = C_n \cos{q t} + D_n \sin{qt}$$

As funções u_n

Observe que cada função $$u_n(x,t) = \left[ C_n \cos{q t} + D_n \sin{qt} \right] B_n \sin{\left( \frac{n \pi}{l} x \right)}$$ é solução da equação diferencial satisfazendo as condições de contorno.

Estes funções são denominadas autofunções, ou funções características, e os valores q_n = \frac{cn \pi}{l} são denominados de autovalores ou valores característicos da corda vibrante e o conjunto q_1, q_2, q_3,... é chamado de espectro.

Cada uma das funções u_n representa um movimento harmônico.

Este movimento é chamado de n-ésimo modo normal da corda ou n-ésima onda estacionária.

O primeiro modo normal é conhecido como modo fundamental de vibração e os outros como sobretons.

Estabelecendo a solução

Do Teorema da Superposição segue que $$u(x,t) = \sum _{n=0}^{\infty}{\left[ C_n \cos{q_n t} + D_n \sin{q_nt} \right] B_n \sin{\left( \frac{n \pi}{l} x \right)}} =$$ $$ = \sum _{n=0}^{\infty}{\left[ B_n C_n \cos{q_n t} \sin{\left( \frac{n \pi}{l} x \right)}+ B_n D_n \sin{q_nt}\sin{\left( \frac{n \pi}{l} x \right)} \right]} $$ é a solução da equação das ondas que satisfaz as condições de contorno.

Agora vamos encontrar uma solução que satisfaça também as condições iniciais. Temos que $$u(x,0) = \sum _{n=0}^{\infty}{\left[ B_n C_n \sin{\left( \frac{n \pi}{l} x \right)}\right]} = f(x)$$ e $$\frac{\partial u}{\partial t} \left|_{t=0} \right. = \sum _{n=0}^{\infty}{\left[ -q_n B_n C_n \sin{q_n t} \sin{\left( \frac{n \pi}{l} x \right)}+ q_n B_n D_n \cos{qt}\sin{\left( \frac{n \pi}{l} x \right)} \right] }\left|_{t=0} \right.= $$ $$= \sum _{n=0}^{\infty}{\left[ q_n B_n D_n \sin{\left( \frac{n \pi}{l} x \right)} \right]} = g(x). $$

Agora, devemos tomar os coeficientes B_n C_n e B_n D_n de modo que as expansões sejam meias-expansões em séries de Fourier de f(x) e g(x), respectivamente.

Desta forma, $$B_n C_n = \frac{2}{l} \int \limits _{0}^{l}{f(x) \sin{\frac{n \pi x}{l}}dx}$$ $$q B_n D_n = \frac{2}{l} \int \limits _{0}^{l}{g(x) \sin{\frac{n \pi x}{l}}dx} \Leftrightarrow $$ $$ \Leftrightarrow B_n D_n = \frac{2}{c n \pi} \int \limits _{0}^{l}{g(x) \sin{\frac{n \pi x}{l}}dx}$$

É sempre bom salientar que as soluções encontradas são apenas soluções formais para o problema da equação da onda unidimensional. Para garantir que a solução apresentada é, de fato, a solução do problema dado é necessário que se investigue mais a fundo.

Uma tentativa tentadora é substituir a expressão encontrada para u(x,t) na equação da onda. Porém, este pode não ser um bom caminho. Algumas vezes, a série que ira representar as derivadas podem não convergir o que, necessariamente, não implica que a série de u(x,t) esteja errada.

Observação sobre generalizações

A equação pode ser facilmente generalizada para dimensões mais elevadas como, por exemplo, no caso das vibrações de uma membrana ou de um tambor em duas dimensões.

Em duas dimensões, a equação é $$ \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} = c^2 \left(  \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} \right).$$

Exercícios Resolvidos

Abaixo estão todas as nossas listas de exercícios resolvidos sobre a Equação da Onda Unidimensional. Basta clicar no link em azul e ser redirecionado para a página dos exercícios:

• Equação da Onda Unidimensional | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

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• Uma Introdução às Equações Diferenciais Parciais
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• Solucionando EDO’s por Transformada de Laplace | Exercícios Resolvidos
• Solução de Equações Diferenciais Ordinárias por Séries de Potência

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