As Transformadas Seno e Cosseno de Fourier

As Transformadas Seno e Cosseno de uma função f(x) são as transformadas integrais definidas, respectivamente, pela parte imaginária e pela parte real da Transformada de Fourier de f(x) .

Essas transformadas podem ser consideradas casos especiais da transformada de Fourier que aparecem naturalmente quando f(x) é uma função, respectivamente, ímpar ou par.

A Transformada de Fourier de uma função f(x) é definida pela integral $$\mathscr{F}\{ f(x) \} = \int\limits^{\infty}_{-\infty}{f(x)e^{-i\alpha x}dx} = F(\alpha)$$ e sua Transformada Inversa de Fourier é dada por $$\mathscr{F}^{-1}\{ F(\alpha) \} = \frac{1}{2\pi}\int\limits^{\infty}_{-\infty}{F(\alpha)e^{i\alpha x}d\alpha} = f(x)$$

Transformadas seno e cosseno de Fourier

Se f(x) é uma função ímpar, definimos \mathscr{F}_S\{ f(x) \} como a Transformada Seno de Fourier que é dada por $$\mathscr{F}_S\{ f(x) \} = \int\limits^{\infty}_{0}{f(x)\sin{\alpha x}dx} = F(\alpha)$$ e sua Transformada Seno de Fourier Inversa é dada por $$\mathscr{F}_{S}^{-1}\{ F(\alpha) \} = \frac{2}{\pi}\int\limits^{\infty}_{0}{F(\alpha)\sin{\alpha x}d\alpha} = f(x).$$

Analogamente, se f(x) é uma função par, então definimos $$\mathscr{F}_C\{ f(x) \} = \int\limits^{\infty}_{0}{f(x)\cos{\alpha x}dx} = F(\alpha)$$ como a Transfomada Cosseno de Fourier e $$\mathscr{F}_{C}^{-1}\{ F(\alpha) \} = \frac{2}{\pi}\int\limits^{\infty}_{0}{F(\alpha)\cos{\alpha x}d\alpha} = f(x).$$ como a Transformada Cosseno de Fourier Inversa .

Da mesma forma que na Transformada de Fourier, devemos estabelecer as condições de existência para as Transformadas Seno e Cosseno de Fourier.

Estas condições são basicamente as mesmas a menos de intervalo de continuidade.

As condições suficientes para a existências da Transformada Seno ou Cosseno de Fourier de uma função f(x) é que esta função seja absolutamente integrável, ou seja, que exista a integral $$\int\limits_{0}^{+\infty}{|f(x)|dx}$$ no intervalo [0,+\infty] e que f e f' sejam parcialmente contínuas em qualquer intervalo finito.

Quanto as propriedades, ambas as transformdas, seno ou cosseno, de Fourier, são operadores lineares e ainda, assumindo condições de existência para a Transformada de Fourier para as derivadas de primeira e segunda ordem de f(x) e estabelecendo que f\rightarrow 0 ,f' \rightarrow 0 quando x \rightarrow 0 obtemos:

1. \mathscr{F}_S\{ f'(x) \} = -\alpha \mathscr{F}_C\{ f(x) \}
2. \mathscr{F}_C\{ f'(x) \} = -\alpha \mathscr{F}_S\{ f(x) \} - f(0)
3. \mathscr{F}_S\{ f''(x) \} = -\alpha^2 F(\alpha) - \alpha f(0)
4. \mathscr{F}_C\{ f''(x) \} = -\alpha^2 F(\alpha) - \alpha f'(0)

Pela duas primeiras propriedades enumeradas anteriormente podemos notar facilmente que as Transformadas Seno e Cosseno de Fourier não são adequadas para transformar a derivada de primeira ordem (na verdade, não é adequada para nenhuma transformada de ordem ímpar), pois, neste caso, f'(x) não é expressa em termos da transformada integral original.

Imediatamente uma pergunta vem à mente: Como saber qual transformada utilizar em um dado problema de contorno?

Primeiramente, para utilizar a Transformada de Fourier o domínio da variável a ser eliminada deve ser (-\infty, \infty).

Para escolher entre a Transformada Seno ou Cosseno de Fourier uma das variáveis deve estar definida no intervalo \left[0, \infty\right) e qual o tipo de condição de contorno especificada em zero.

EXEMPLO

Vamos determinar a Transformada Cosseno de Fourier de f(x) = e^{-mx}, com m>0.

Por definição,
\begin{eqnarray*}
\mathscr{F}_C\{ f(x) \} & = & \int\limits^{\infty}_{0}{f(x)\cos{\alpha x}dx}\\
& = & \int\limits^{\infty}_{0}{e^{-mx}\cos{\alpha x}dx} \\
& = & \left[\frac{e^{-mx} \left( -m\cos{(\alpha x)} + \alpha m\sin{(\alpha x)} \right)}{m^2+\alpha ^2} \right]_{0}^{\infty}\\
& = & \frac{m}{m^2+\alpha ^2} = F(\alpha)
\end{eqnarray*}

EXEMPLO

Resolva a equação $$\int\limits^{\infty}_{0}{f(x)\sin{\alpha x}dx} = \left\{ \begin{array}{rl}
1-\alpha; & 0\leq \alpha \leq 1\\
0; & \alpha > 1 \end{array} \right.$$

Queremos determinar a função f(x) que satisfaz a equação integral acima.

Note que $$\int\limits^{\infty}_{0}{f(x)\sin{\alpha x}dx} = \mathscr{F}_C\{ f(x) \}=F_C(\alpha),$$ logo, $$f(x) = \mathscr{F}^{-1}_C\{ F_S(\alpha) \} = \frac{2}{\pi}\int\limits^{\infty}_{0}{F_S(\alpha)\sin{\alpha x}d\alpha} =$$ $$= \frac{2}{\pi}\int\limits^{1}_{0}{(1-\alpha)\sin{\alpha x}d\alpha}$$ que por integração, nos dá $$f(x) = \frac{2(x-\sin{x})}{\pi x^2}.$$

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