Como Resolver a Equação de Euler-Cauchy? | EDO’s de 2ª Ordem Homogêneas

Euler-Cauchy de ordem 2

Como Resolver uma Equação de Euler-Cauchy?

1. A equação tem duas raízes reais, \lambda _1 e \lambda _2 diferentes: Neste caso, uma solução geral da EDO é da forma $$y(t) = c_1 t^{\lambda _1} + c_2 t^{\lambda _2}.$$
2. A equação tem duas raízes reais, \lambda _1 e \lambda _2 iguais: Neste caso, uma solução geral da EDO é da forma $$y(t) = \left( c_1 + c_2 \ln{t} \right) t^\lambda.$$
3. A equação tem duas raízes complexas, \lambda=a+bi: Neste caso, uma solução geral da EDO é da forma $$y(t) = t^{a} \left( c_1 \cos{(b\ln{t})} + c_2 \sin{(b\ln{t})} \right).$$

EXEMPLO: 

EXEMPLO: 

Equação de Euler-Cauchy – Lista de Exercícios Resolvidos

1) Resolva as EDOs abaixo:(a) t^2y'' + 5ty'-5y = 0,\;\;\;t>0(b) t^2 y'' + ty'+y=0, \;\;\;t>0 (c) t^2y'' + 2t y' +2y = 0\;\;\;t>0(d) t^2y'' - ty' +y = 0(e) t^2y'' + 5ty'-5y = 0,\;\;\;t>0(f) t^2 y'' + ty'+y=0, \;\;\;t>0 (g) t^2y'' + 2t y' +2y = 0\;\;\;t>0(h) t^2y'' - ty' +y = 0

2) Encontre a solução geral das equações

a) t^2 y'' - 2y=3t^2 -1,\;\;\;t>0.

b) t^2y''+ty'-y = ln(t), t>0.

SOLUÇÃO: 

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