Nesse artigo queremos apresentar uma terceira lista de exercícios resolvidos sobre as curvas no espaço. Uma curva parametrizada é a imagem de uma função de uma variável a valores no \mathbb{R}^n. Assim, uma função $$f(t)=(x_1(t), x_2(t),…,x_n(t))\;\;\;\;t\in \mathbb{R}$$ é uma curva e as funções reais x_i(t),\; i=1,...,n, são as equações paramétricas da curva e t é chamado de parâmetro.
Porém, com mais acuidade matemática definimos como curva o conjunto de todos os pontos (x(t), y(t), z(t)) do espaço determinados por uma função vetorial de uma variável.
Curvas no Espaço | 3ª Lista Exercícios Resolvidos
1) Determine:
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a) A representação paramétrica da reta que passa por A(2,0,1) e B(-1,1/2, 0 ) ;
SOLUÇÃO:
b) As equações paramétricas da circunferência x^2 + y^2 - 6x -4y +4 = 0 no plano z = 3 ;
SOLUÇÃO:
c) A parametrização da elipse 9 x^2 + 4y^2 = 36 no plano xOy ;
SOLUÇÃO:
d) A parametrização da curva dada pela interseção das superfícies x+y = 2 e x^2 + y^2 +z^2 = 2(x+y) .
SOLUÇÃO: 
2) A curva dada por $$f(t) = (r cos( \omega t), r sen( \omega t), v t)$$ é chamada hélice circular. Reparametrize essa curva pelo comprimento de arco.
SOLUÇÃO: hélice circular
3) Encontrar o comprimento do arco da curva cuja equação vetorial é f(t) = \left( t, t^{-2/3} \right); t \in [1,4] .
SOLUÇÃO:
4) Mostre que o arco f(0) = \vec{0} e f(t) = \left( t, t^3 sen \left( \frac{1}{t} \right) \right), 0 < t \leq 1 é regular. Faça seu gráfico e verifique que ele corta o eixo Ox numa infinidade de pontos.
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SOLUÇÃO: 
5) Determinar o vetor velocidade e o vetor aceleração de uma partícula que se move segundo a lei $$\vec{r} (t) = cos(2t) \vec{i} + sen(2t) \vec{j} + \vec{k}.$$ Mostre que o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição e que o vetor aceleração é perpendicular ao vetor velocidade. Esboce graficamente a trajetória desta partícula.
SOLUÇÃO: 
6) Seja C a hélice circular dada por $$\vec{r} (t) = 2 cos(t) \vec{i} + 2 sen(t) \vec{j} + \sqrt{5} t \vec{k}.$$ Calcule o vetor tangente unitário u(t) e o vetor u'(t) no ponto P \left( \sqrt{2} , \sqrt{2} , \dfrac{\sqrt{5} \pi}{4} \right) .
SOLUÇÃO:
Leia Mais:
- Curvas no Espaço | Parametrização, Comprimento de Arco e Deslocamento de Partícula
- Curvas no Espaço | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
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