Neste artigo queremos apresentar uma lista de exercícios resolvidos envolvendo as bases conceituais para o estudo das equações diferenciais, com vistas a uma análise abrangente, seja ela qualitativa ou quantitativa.
Uma equação diferencial, grosso modo, é uma relação entre uma função e suas derivadas. Uma definição rigorosa do que é uma equação diferencial é dada da seguinte forma: Uma equação que contém as derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes, em relação a uma ou mais variáveis independentes, é chamada de de equação diferencial.
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Introdução às Equações Diferenciais | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
1) Classifique quanto à ordem e linearidade as seguintes EDO’s abaixo:
a) x dy + ydx = 0 EDO de Primeira Ordem Linear
b) y'' - 2 y' + y = 0 EDO de Segunda Ordem Linear
c) x^3 \dfrac{d^3 y}{dx^3} - x^2 \dfrac{d^2 y}{dx^2} + 3x + 5y = e^x EDO de Terceira Ordem Linear
d) x^3 y^{(4)} - x^2 y'' + 4xy' - 3y = 0 EDO de Quarta Ordem Linear
2) a) Verifique se y = \dfrac{x^4}{16} é uma solução para a equação não-linear $$\frac{dy}{dx} = x y^{1/2}.$$
SOLUÇÃO: Substituindo a solução na equação, obtemos: $$ \left( \frac{x^4}{16} \right) ^{´} = x \left( \frac{x^4}{16} \right)^{1/2} \Leftrightarrow \frac{x^3}{4} – \left( \frac{x^4}{16} \right)^{1/2} = \frac{x^3}{4} – \frac{x^3}{4} = 0. $$ Portanto, y = \dfrac{x^4}{16} é uma solução para a equação não-linear $$\frac{dy}{dx} = x y^{1/2}.$$
b) Mostre que para qualquer valor de c, a função y(x) = \dfrac{c}{x} +1 é uma solução da equação diferencial de primeira ordem $$x \frac{dy}{dx} + y= 1.$$
SOLUÇÃO: Substituindo a função y(x) = \dfrac{c}{x} +1 na equação, obtemos $$x \left( \frac{c}{x} +1\right)^{´} + \left( \frac{c}{x} +1\right) = x \left( – \frac{c}{x^2} \right) + \left( \frac{c}{x} +1\right) = 1.$$
Portanto, para qualquer valor de c, a função y(x) = \dfrac{c}{x} +1 é uma solução da equação diferencial de primeira ordem $$x \frac{dy}{dx} + y= 1.$$
3) a) As equações diferenciais de primeira ordem $$\left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + 1 = 0$$ e $$(y’)^2 + y^2 + 4 = 0$$ não possuem soluções reais. Por quê?
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SOLUÇÃO: Note que se ambas as equações tivessem soluções reais, existiriam funções reais y(t) tais que: $$ (y´´)^2 = 1 \;\;\; e \;\;\; (y’)^2 + y^2 = -4,$$ ou seja, existiriam números reais que ao quadrado ou somas de números quadrados de números reais que resultariam em números negativos, o que seria um absurdo.
b) A equação de segunda ordem (y'')^2 + 10y^4 = 0 possui somente uma solução real. Qual?
SOLUÇÃO: Como essa é uma equação homogênea e toda equação homogênea possui ao menos a solução trivial y(t) = 0 , chamada de solução trivial. Esta é a única solução real desta equação.
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