Teoria dos Jogos | Matemática Aplicada à Sociologia e Economia

A Teoria dos Jogos é um ramo da Matemática Aplicada que estuda situações em que duas ou mais partes se confrontam, no sentido de maximizarem seus ganhos.

Inicialmente ligada a questões econômicas e de energia nuclear, a Teoria dos Jogos é agora usada em áreas do conhecimento alheias à matemática.

Por causa de jogos como o Dilema do Prisioneiro, a Teoria dos jogos tem despertado também o interesse da Filosofia, Ética e Ciência Política.

Em geral, a Teoria de Jogos pode ser usada quer para prever o resultado de uma situação de confronto, quer para aconselhar um dos confrontantes a tomar a melhor decisão.

É claro que as situações consideradas são em geral demasiado complexas para que as simples considerações matemáticas deem a solução final.

Em Ciência Política, por exemplo, essa aceitação cega levaria à tecnocracia pura.

Os Matemáticos Pioneiros da Teoria dos Jogos

O início da Teoria dos Jogos ganhou força pelas mãos dois matemáticos renomados: John von Neumann e John Nash.

JOHN VON NEUMANN

A invenção da Teoria dos jogos e os seus primeiros resultados são atribuídos ao notável matemático húngaro John von Neumann.

Seu nome original é János Neumann, e ele foi um matemático americano nascido na Hungria.

Quando adulto, ele adicionou von ao sobrenome; o título hereditário fora concedido a seu pai em 1913.

Von Neumann passou de criança prodígio a um dos maiores matemáticos do mundo por volta dos vinte e poucos anos.

Um trabalho importante na teoria dos conjuntos inaugurou uma carreira que atingiu quase todos os ramos importantes da matemática.

O dom de Von Neumann para a matemática aplicada levou seu trabalho em direções que influenciaram a teoria quântica, a teoria dos autômatos, economia e planejamento de defesa.

Von Neumann foi o pioneiro da teoria dos jogos e, junto com Alan Turing e Claude Shannon , foi um dos inventores conceituais do computador digital.

JOHN NASH

Houve mais interesse na teoria dos jogos depois da atribuição do Prêmio Nobel de Economia, em 1994, ao matemático americano John Nash, por causa do seu trabalho em teoria dos jogos não cooperativos.

A vida deste matemático tornou-se famosa depois do filme biográfico de 2001, “A Beautiful Mind”, que no Brasil ficou traduzido como “Uma Mente Brilhante”.

Enquanto ainda estava na pós-graduação, Nash publicou (abril de 1950) seu primeiro artigo, “The Bargaining Problem”, na revista Econométrica .

Ele expandiu seu modelo matemático de barganha em sua influente tese de doutorado, “Non-Cooperative Games ”, que apareceu em setembro de 1951 na revista Annals of Mathematics.

Nash assim estabeleceu os princípios matemáticos da teoria dos jogos, um ramo da matemática que examina as rivalidades entre concorrentes com interesses mistos.

Ele mostrou que para qualquer jogo finito, todos os jogadores podem chegar a um resultado ótimo, conhecido como equilíbrio de Nash ou Solução de Nash , ao considerar as possíveis ações dos outros jogadores.

Apesar de suas limitações práticas, o equilíbrio de Nash foi amplamente aplicado por estrategistas de negócios.

Até por isso, a contribuição mais efetiva de Nash foi a demonstração da existência de uma situação de equilíbrio numa classe muito grande de jogos. Essa situação é caracterizada por nenhum jogador ter nada a ganhar ao mudar de estratégia unilateralmente.

O Dilema do Prisioneiro

O Dilema do Prisioneiro foi concebido por dois investigadores da RAND – uma agência de investigação a serviço das forças armadas dos Estados Unidos – em 1950.

Só mais tarde o jogo apareceu com o formato de dilema entre prisioneiros.

O dilema é o seguinte:

Dois criminosos A e B são presos. Não havendo provas suficientes para os condenar, a polícia separa-os em celas sem comunicação, e propõe a ambos o seguinte arranjo:

• se ambos denunciarem o parceiro, cada um pega uma pena de 2 anos.
• se um deles denunciar o outro, e o outro permanecer calado, o denunciante sai livre e o outro pega uma pena de 10 anos.
• se ambos ficarem calados, ambos apanham apenas 6 meses de prisão.

A situação pode ser representada no seguinte quadro, habitualmente chamado “matriz de payoff” em Teoria dos Jogos:

O dilema surge da seguinte observação:

ao observar o quadro vemos que, perante qualquer decisão do prisioneiro B, o prisioneiro A tem vantagem em denunciar B. O mesmo se passa com o prisioneiro B. Assim, se ambos seguirem este raciocínio, que corresponde neste caso ao chamado Equilíbrio de Nash, ambos apanharão 2 anos. No entanto, se ambos se calarem, isto é, se ambos seguirem uma estratégia que vai aparentemente contra seus interesses, ambos apanharão apenas 6 meses, o que é uma situação mais vantajosa.

A única solução de equilíbrio deste Dilema é a opção de ambos traírem um ao outro. Em Teoria dos Jogos, chamamos essa estratégia de estratégia dominante, ou seja, aquela que apresenta o melhor resultado, independentemente da decisão do outro jogador.

Quando, em certo jogo, devido ao esquema de incentivos (a matriz de resultados), você não precisa se preocupar com a decisão alheia porque existe uma opção melhor, independente do seu competidor, então você deve escolher a estratégia dominante.

O grande problema no Dilema dos Prisioneiros é que o equilíbrio (Trair-Trair) não é o melhor resultado, pois existe um outro possível e bem melhor: se ambos escolherem Colaborar (ficar em silêncio), cada um ficaria apenas seis meses na prisão.

Por isso, dizemos que o Dilema dos Prisioneiros resulta em um equilíbrio ineficiente, pois o esquema de incentivos e a racionalidade induzem a um resultado pior.

O conflito típico dos jogos da categoria Dilema dos Prisioneiros é aquele em que cada jogador escolhe sua estratégia dominante e o resultado do jogo é pior para o grupo como um todo — é o conflito entre o interesse individual e o coletivo.

Na prática, esse jogo-modelo é uma das metáforas mais poderosas da ciência do comportamento humano, pois inúmeras interações sociais e econômicas têm a mesma estrutura de incentivos. (Saiba mais sobre o Dilema do Prisioneiro aqui)

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