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Teorema de Bouton é um dos resultados mais importantes da Teoria dos Jogos.
A Teoria dos Jogos é um ramo da Matemática Aplicada que estuda situações em que duas ou mais partes se confrontam, no sentido de maximizarem seus ganhos.
Em geral, a Teoria de Jogos pode ser usada quer para prever o resultado de uma situação de confronto, quer para aconselhar um dos confrontantes a tomar a melhor decisão.
É claro que as situações consideradas são em geral demasiado complexas para que as simples considerações matemáticas deem a solução final.
O Teorema de Bouton nos diz que:
De qualquer posição insegura é possível jogar para uma posição segura. De uma posição segura, todas as jogadas possíveis conduzem a posições inseguras.
Para exemplificá-lo vamos explorar o Jogo do NIM. Mas antes, vamos saber que foi Bouton.
Quem Foi Bouton?
Charles Leonard Bouton (25 de abril de 1869 – 20 de fevereiro de 1922) foi um matemático dos Estados Unidos. Ele nasceu em St Louis, Missouri, onde seu pai era engenheiro.
Bouton estudou nas escolas públicas de St. Louis. Mais tarde, ele recebeu um grau de Mestre em Ciências da Universidade de Washington.
Em 1898, ele recebeu seu doutorado na Universidade de Leipzig. Seu orientador no doutorado foi Sophus Lie.
Ele ensinou na Smith Academy, na Washington University e na Harvard University. De 1900 a 1902, Bouton foi editor do Bulletin of the American Mathematical Society.
Em 1902, Bouton publicou uma solução para o jogo Nim e esse resultado é visto hoje como o nascimento da teoria dos jogos combinatórios.
O Teorema de Bouton e a Solução do Jogo do NIM
No Jogo do NIM dois jogadores alternam escolhendo uma pilha de feijões e tirando feijões ( podem ser todos) desta pilha. Ganha quem retirar o último feijão.
Acredite, o jogo é mais complexo do parece e desenha estratégias interessantes dentro da teoria dos jogos.
O nome NIM é derivado da palavra alemã nimm, cuja tradução é retirada. É um jogo tático, provavelmente inspirado no antigo jogo de apostas chinês Fan Tan.
Vamos considerar um exemplo temos pilhas com 3, 5 e 7 feijões.
A “soma nim” de 3, 5 e 7 obtém-se a partir da representação binária deste números, que se consegue escrevendo-os como soma de potências de 2.
Temos que 3=2+1, 5=4+1 e 7= 4+2+1. Assim, obtemos a tabela:
Somamos agora os algarismo da representação binária destes números de acordo com a tabuada:
0 + 0 = 1 + 1 = 0
1 + 0 = 0 + 1 = 1
Assim, a soma-nim de 3, 5 e 7 é
(011)+(101)+(111) = 001.
Uma posição é dita ser segura se a soma nim dos números de feijões das pilhas for zero, e insegura caso contrário.
A posição acima, portanto, não é segura.
A estratégia segue-se à partir desse princípio.
Devemos jogar para uma posição segura.
Pelo Teorema de Bouton, certamente o adversário nos devolverá uma posição insegura.
Daí jogamos de novo de modo a obter uma posição segura, e assim sucessivamente.
Agora, o jogo só acaba quando acabam os feijões, ou seja, quando a soma nim for zero.
Ora, “soma nim igual a zero” é uma posição segura, e portanto o jogo acabará numa posição segura.
Vence portanto aquele jogador que, na sua vez de jogar, pegar uma posição insegura.
A única “sorte” que devemos ter neste jogo, portanto, é de pegar uma posição insegura.
No exemplo abaixo, retirando um feijão de qualquer pilha obtém-se uma posição segura.
De fato, se retirarmos um feijão da primeira pilha ficaremos com 2 , 5 e 7.
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Vamos agora retirar um feijão da segunda pilha.
Ficaremos com 3 , 4 e 7.
Vamos agora retirar um feijão da terceira pilha.
Ficaremos com 3 , 5 e 6.
Numa situação de jogo é ruim ficar com um papel do lado fazendo contas.
Neste sentido, o livro “Contos em Contas”, de Miguel de Guzmán, da Editora Gradiva, ensina maneiras bem práticas de obter a representação binária dos números e fazer as jogadas sem usar papel e lápis, e mais ainda, fazendo uso dos próprios feijões e o livro.
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