A Mais Completa Tabela de Derivadas e Integrais

No estudo do cálculo diferencial e integral o uso de tabelas de derivação e integração é muito importante por dinamizar os cálculos de derivadas e integrais e tornar as aplicações muito mais práticas do que se elas fossem atacadas pela definição crua.

Essa tabela deve ser usada junto às regras de derivação e às técnicas de primitivação. Insisto com meus alunos que não tentem decorar essas tabelas de imediato. Vão absorvendo as fórmulas aos poucos enquanto fazem exercícios e com o passar do tempo elas estarão gravadas em sua mente.

Fórmulas Fundamentais de Derivadas | Regras de Derivação

1.   \left[ c f(x) \right]' = c f'(x);
2.   \left[  f(x) \pm g(x) \right]' = f'(x) \pm g'(x);
3.   \left[  f(x)\cdot g(x) \right]' = f'(x)g(x) +f(x) g'(x);
4.   \left[  \dfrac{f(x)}{g(x)} \right]' = \dfrac{g(x)f'(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} ;
5. \left[ f\left( g(x) \right) \right]' = f'\left( g(x) \right) g'(x) .
6. \left[ f(x)^{g(x)} \right]' = f(x)^{g(x)} g'(x) \ln{f(x)} +g(x) f(x)^{g(x)-1}f'(x).

Tabela de Derivadas de Funções Elementares

Seguindo a definição básica da derivada chegamos em vários padrões de comportamento dependendo da função colocada dentro dela.

Seguindo esses padrões chegamos à tabela de derivadas abaixo.

1. y = u^n \Rightarrow y' = n u^{n-1} u' ;
2. y = c \Rightarrow y' = 0 , onde k é uma constante real;
3. y = u v \Rightarrow y' = u' v + v' u
4. y = \dfrac{u}{v} \Rightarrow y' = \dfrac{u' v - v' u}{v^2}
5. y = a^u \Rightarrow y' = a^u (\ln a) u', (a > 0, a \neq 1 )
6. y = e^u \Rightarrow y' = e^u u'
7. y = \log_a{u} \Rightarrow y' = \dfrac{u'}{u} \log_a e
8. y = \ln{u} \Rightarrow y' = \dfrac{1}{u} u'
9. y = u^v \Rightarrow y' = v u^{v-1} u' + u^v (\ln u) v'
10. y = \sin{u} \Rightarrow y' = u' \cos{u}
11. y = \cos{u} \Rightarrow y' = -u' \sin{u}
12. y = \tan{u} \Rightarrow y' = u' \sec^2{u} , desde que x \neq (2n+1)\dfrac{\pi}{2}, n\in \mathbb{Z} ;
13. y = \cot{u} \Rightarrow y' = -u' \csc^2{u} , desde que x \neq n \pi , n\in \mathbb{Z} ;
14. y = \sec{u} \Rightarrow y' = u' \sec{u} \cdot \tan{u} , desde que x \neq (2n+1)\dfrac{\pi}{2}, n\in \mathbb{Z} ;
15. y = \csc{u} \Rightarrow y' = -u' \csc{u} \cdot \cot{u} desde que x \neq n \pi , n\in \mathbb{Z} ;
16. y = \arcsin{u} \Rightarrow y' = \dfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}
17. y = \arccos{u} \Rightarrow y' = \dfrac{-u'}{\sqrt{1-u^2}}
18. y = \arctan{u} \Rightarrow y' = \dfrac{u'}{\sqrt{1+u^2}}
19. y = arccot u \Rightarrow y' = \dfrac{-u'}{\sqrt{1+u^2}}
20. y = arcsec u, |u| \geq 1 \Rightarrow y' = \dfrac{u'}{|u| \sqrt{u^2-1}}, |u| > 1
21. y = arccsc u, |u| \geq 1 \Rightarrow y' = \dfrac{-u'}{|u| \sqrt{u^2-1}}, |u| > 1
22. y = \text{senh}{(u)} \Rightarrow y' = \text{cosh} (u)
23. y = \text{cosh}{(u)} \Rightarrow y' = \text{senh} (u)
24. y = \text{tanh}{(u)} \Rightarrow y' = \text{sech}^2 (u)
25. y = \text{coth}{(u)} \Rightarrow y' = - \text{cosech}^2 (u)
26. y = \text{sech}{(u)} \Rightarrow y' = - \text{sech} (u) \text{tanh} (u)
27. y = \text{cosech}{(u)} \Rightarrow y' = - \text{cosech} (u) \text{coth}{(u)}
28. y = \text{arcsenh}{(u)} \Rightarrow y' =\dfrac{1}{\sqrt{u^2+1}}
29. y = \text{arccosh}{(u)} \Rightarrow y' =\dfrac{1}{\sqrt{u^2-1}}
30. y = \text{arctanh}{(u)} \Rightarrow y' = \dfrac{1}{1+u^2}
31. y = \text{arccoth}{(u)} \Rightarrow y' = \dfrac{1}{1-u^2} 
32. y = \text{arsech}{(u)} \Rightarrow y' = - \dfrac{1}{u\sqrt{1-u^2}}
33. y = \text{aeccosech}{(u)} \Rightarrow y' = - \dfrac{1}{x\sqrt{x^2+1}}

Algumas Regras de Derivação de Ordem Superior

1) \dfrac{d^n}{dx^n}[\text{sen}(ax+b)] = a^n \text{sen}\left(\dfrac{n \pi}{2} +ax+b  \right)

2) \dfrac{d^n}{dx^n}[\text{cos}(ax+b)] = a^n \text{cos}\left(\dfrac{n \pi}{2} +ax+b  \right)

3) \dfrac{d^n}{dx^n}[(ax+b)^n] = \dfrac{m!}{(m-n)!} a^n (ax+b)^{m-n} 

4) \dfrac{d^n}{dx^n}[\log (ax+b)] = \dfrac{(-1)^{n-1} (n-1)! a^n}{(ax+b)^{n}} 

5) \dfrac{d^n}{dx^n} \left[ e^{ax} \right] = a^n e^{ax} .

Tabela de Integrais | Regras de Integração

Essa tabela de integrais é construída à partir da tabela de derivação acima, mas não só, pois incluímos aqui fórmulas para algumas formas clássicas de integrais envolvendo padrões que aparecem no estudo das técnicas de primitivação. Até por isso, essa é uma tabela ainda em construção e sempre que julgar necessário adicionarei mais itens nela.

1. \int du = u+c
2. \int{[f(u)+g(u)] du} = \int{f(u) du}+ \int{g(u) du}
3. \int{cf(u) du} = c \int{f(u) du}
4. \int{f(u) dv} = uv-\int{v du}
5. \int u^n du = \dfrac{u^{n+1}}{n+1} + c, n \neq -1
6. \int \dfrac{du}{u} = \ln{|u|} + c
7. \int a^u du = \dfrac{a^u}{\ln{a}} +c, a > 0, a \neq 1
8. \int e^u du = e^u + c
9. \int{ue^{u}du} = (u-1)e^{u}+c
10. \int{u^{n} e^{u}du} = u^{n} e^{u} - n\int{u^{n-1} e^{u}du}
11. \int{\ln{u}du} = u \ln{u}-u + c
12. \int{\dfrac{du}{u\ln{u}} du} = \ln{| \ln{u} |} +c
13. \int{u^{n} \ln{u}du} = u^{n-1} \left( \dfrac{\ln{u}}{n+1} - \dfrac{1}{(n+1)^2} \right) + c, se n \neq 1
14. \int \sin{u} \cdot du = -\cos{u} + c
15. \int \cos{u} \cdot du = \sin{u} +c
16. \int \tan{u} \cdot du = \ln{|\sec{u}|} + c
17. \int \cot{u} \cdot du = \ln{|\sin{u}|} + c
18. \int \sec{u} \cdot du = \ln{|\sec{u} + \tan{u}|} + c
19. \int \csc{u} \cdot du = \ln{|\csc{u} - \cot{u}|} + c
20. \int \sec{u} \cdot \tan{u} \cdot du = \sec{u} + c
21. \int \csc{u}\cdot \cot{u} \cdot du = -\csc{u} + c
22. \int \sec^2u \cdot du = \tan{u} + c
23. \int \csc^2{u} \cdot du = -\cot{u} + c
24. \int{sen( a t) e^{bt}dt} = \dfrac{e^{bt} [b sen(at) -a cos(at)]}{b^2 +a^2}
25. \int \dfrac{du}{u^2+a^2} = \dfrac{1}{a} \arctan{\dfrac{u}{a}} + c
26. \int \dfrac{du}{u^2-a^2} = \dfrac{1}{2a} \ln{|\dfrac{u-a}{u+a}|} + c, u^2 > a^2
27. \int \dfrac{du}{a^2-u^2} = \dfrac{1}{2a} \ln{|\dfrac{u+a}{a-u}|} + c
28. \int \dfrac{du}{\sqrt{u^2+a^2}} = \ln{|u + \sqrt{u^2+a^2}|} + c
29. \int \dfrac{du}{\sqrt{u^2-a^2}} = \arcsin{\dfrac{u}{a}} + c, u^2 < a^2
30. \int \dfrac{du}{\sqrt{a^2-u^2}} = \arcsin{\dfrac{u}{a}} + c, u^2 < a^2
31. \int \dfrac{du}{u \sqrt{a^2-u^2}} = \dfrac{1}{a} arcsec |\dfrac{u}{a}| + c
32. \int \sin^n au \cdot du = -\dfrac{\sin^{n-1}au \cdot \cos{au}}{an} + (\dfrac{n-1}{n}) \cdot \int \sin^{n-2} au \cdot du
33. \int \cos^n au \cdot du = \dfrac{ \sin{au} \cos^{n-1} au}{an} + \dfrac{n-1}{b} \cdot \int \cos^{n-2} au \cdot du
34. \int \tan^n au \cdot du = \dfrac{ \tan^{n-1}{au} }{a(n-1)} - \int \tan^{n-2} au \cdot du
35. \int \cot^n au \cdot du = -\dfrac{ \cot^{n-1}{au} }{a(n-1)} - \int \cot^{n-2} au \cdot du
36. \int \sec^n au \cdot du = \dfrac{ \sec^{n-2}{au} \tan{au} }{a(n-1)} + \dfrac{n-2}{n-1} \int \sec^{n-2} au \cdot du
37. \int \csc^n au \cdot du = -\dfrac{ \csc^{n-2}{au} \cot{au}}{a(n-1)} + \dfrac{n-2}{n-1} \int \csc^{n-2} au \cdot du
38. \int \sin{u} \cos{u} du = -\dfrac{\cos ^2{u}}{2} + c = \dfrac{-\mathrm{cos}\left( 2\,x\right) -1}{4} + c
39. \int\dfrac{x}{{x}^{2}+1} = \dfrac{\mathrm{ln}\left( {x}^{2}+1\right) }{2} +c
40. \int{{x}^{3}\,{e}^{-{x}^{2}}} = \dfrac{\left( -{x}^{2}-1\right) \,{e}^{-{x}^{2}}}{2} +c
41. \int{t\,\sqrt{a\,{t}^{2}+1} dt} = \dfrac{{\left( a\,{t}^{2}+1\right) }^{\dfrac{3}{2}}}{3\,a} +c
42. \int{\dfrac{1}{(a+bu)(\alpha + \beta u)} du} = \dfrac{1}{a \beta - \alpha b} \ln{\left| \dfrac{\alpha + \beta u}{a+ bu} \right| } +c
43. \int{\dfrac{u}{(a+bu)(\alpha + \beta u)} du} = \dfrac{1}{a \beta - \alpha b} \left[ \dfrac{a}{b} \ln{\left| a + b u \right| } - \dfrac{\alpha }{\beta} \ln{\left| \alpha + \beta u \right| } \right]+c
44. \int{{e}^{a\,u}\,\mathrm{sen}\left( b\,u\right) du} =  \dfrac{{e}^{a\,u}\,\left( a\,\mathrm{sen}\left( b\,u\right) -b\,\mathrm{cos}\left( b\,u\right) \right) }{{b}^{2}+{a}^{2}} + c
45. \int{{e}^{a\,u}\,\mathrm{cos}\left( b\,u\right) du} = \dfrac{{e}^{a\,u}\,\left( b\,\mathrm{sen}\left( b\,u\right) +a\,\mathrm{cos}\left( b\,u\right) \right) }{{b}^{2}+{a}^{2}} + c

Fórmulas de Recorrência

1) \int \sin^n au \cdot du = -\dfrac{\sin^{n-1}au \cdot \cos{au}}{an} + (\dfrac{n-1}{n}) \cdot \int \sin^{n-2} au \cdot du ;

2) \int \cos^n au \cdot du = \dfrac{ \sin{au} \cos^{n-1} au}{an} + \dfrac{n-1}{b} \cdot \int \cos^{n-2} au \cdot du ;

3) \int \tan^n au \cdot du = \dfrac{ \tan^{n-1}{au} }{a(n-1)} - \int \tan^{n-2} au \cdot du ;

4) \int \cot^n au \cdot du = -\dfrac{ \cot^{n-1}{au} }{a(n-1)} - \int \cot^{n-2} au \cdot du ;

5) \int \sec^n au \cdot du = \dfrac{ \sec^{n-2}{au} \tan{au} }{a(n-1)} + \dfrac{n-2}{n-1} \int \sec^{n-2} au \cdot du;

6) \int \csc^n au \cdot du = -\dfrac{ \csc^{n-2}{au} \cot{au}}{a(n-1)} + \dfrac{n-2}{n-1} \int \csc^{n-2} au \cdot du ;

Fórmulas de Integração Definida

1) \dfrac{1}{2 \pi}\int\limits_{0}^{2 \pi}{\sin ^2 {x} dx} = \dfrac{1}{2 \pi}\int\limits_{0}^{2 \pi}{\cos ^2 {x} dx} = \dfrac{1}{2} ;

2) \dfrac{1}{2 \pi}\int\limits_{0}^{2 \pi}{\sin ^4 {x} dx} = \dfrac{1}{2 \pi}\int\limits_{0}^{2 \pi}{\cos ^4 {x} dx} = \dfrac{3}{8} ;

3) \dfrac{1}{2 \pi}\int\limits_{0}^{2 \pi}{\sin ^2 {x} \cos ^2 {x} dx}  = \dfrac{1}{8};

4) \dfrac{1}{2 \pi}\int\limits_{0}^{2 \pi}{\sin ^6 {x} dx} = \dfrac{1}{2 \pi}\int\limits_{0}^{2 \pi}{\cos ^6 {x} dx} = \dfrac{5}{16} ;

5) \dfrac{1}{2 \pi}\int\limits_{0}^{2 \pi}{\sin ^4 {x} \cos ^2 {x} dx}  = \dfrac{1}{2 \pi}\int\limits_{0}^{2 \pi}{\sin ^2 {x} \cos ^4 {x} dx} = \dfrac{1}{16} ;

6) Fator Descontínuo de Dirichlet: \int\limits_{0}^{\infty}{ \dfrac{\cos{(\alpha x)}\sin{\alpha}}{\alpha} d\alpha} = \left\{ \begin{array}{ll}\pi/2; & 0 \leq x <1,\\ \pi/4; & x = 1,\\ 0; & x > 1. \end{array} \right.

7) Integrais de Laplace: \int\limits_{0}^{\infty}{ \dfrac{\alpha\sin{(\alpha x)}}{k^2+\alpha^2}d\alpha} = \dfrac{\pi}{2}e^{-kx}\;\;\;\;\;\;\;\;x,k>0 ;

8) Integrais de Laplace: \int\limits_{0}^{\infty}{ \dfrac{\cos{(\alpha x)}}{k^2+\alpha^2}d\alpha} = \dfrac{\pi}{2k}e^{-kx}\;\;\;\;\;\;\;\;x,k>0 ;

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