Solução de E.D.O.’s via Tranformada de Laplace: Lista de Exercícios Resolvidos

Este artigo explora a solução de Equações Diferenciais Ordinárias (E.D.O.’s) utilizando a Transformada de Laplace, com uma lista de exercícios resolvidos. Abrangendo desde equações lineares homogêneas até respostas a impulsos, é um recurso essencial para estudantes e profissionais de engenharia buscando aprimorar suas habilidades analíticas.

Introdução

A solução de Equações Diferenciais Ordinárias (E.D.O.’s) é fundamental no campo da engenharia, fornecendo as ferramentas necessárias para modelar e resolver problemas complexos que variam desde sistemas mecânicos até circuitos elétricos. Uma das técnicas mais eficazes para abordar estas equações é a Transformada de Laplace, um método que converte equações diferenciais em equações algébricas mais simples de resolver.

Este artigo apresenta uma lista de exercícios resolvidos que demonstram a aplicação prática da Transformada de Laplace na solução de E.D.O.’s, abordando diferentes tipos de equações, incluindo lineares homogêneas e não homogêneas, e respostas a funções degrau. Cada exercício é cuidadosamente selecionado para ilustrar o processo de transformação e solução, tornando conceitos complexos acessíveis e compreensíveis.

Destinado a estudantes e profissionais de engenharia, este recurso é uma excelente oportunidade para aprofundar o entendimento das E.D.O.’s e aprimorar as habilidades de resolução de problemas através de exemplos práticos e aplicados.

Como Resolver E.D.O’s Usando Transformada de Lapalce

Considere o problema de valor inicial $$y” + ay’ + by = r(t),\;\;\;y(0) = K_1\;\;\;\;y'(0) = K_2$$ sendo a e b constantes. Neste caso, aplicando a Transformada de Laplace na equação, e lembrando que \mathscr{L}(f')  =  s \mathscr{L} (f)-f(0)
e \mathscr{L} (f'')  =  s^2 \mathscr{L} (f) - sf(0) - f'(0) , obtemos $$ \mathscr{L}\{ y” + ay’ + by \} = \mathscr{L}\{ r(t) \}$$ $$ \mathscr{L}\{ y”\} + a \mathscr{L}\{y’\} + b \mathscr{L}\{y \} = \mathscr{L}\{ r(t) \} $$ $$ \left[ s^2 Y(s) – sy(0) – y'(0) \right] + a \left[ s Y(s) – y(0) \right] + b Y(s) = R(s) $$ $$ \left[ s^2 Y(s) – sK_1 – K_2 \right] + a \left[ s Y(s) – K_1 \right] + b Y(s) = R(s) $$ $$ Y(s) \left[ s^2 + as +b \right] – \left[ s K_1 + a K_1 + K_2 \right] = R(s) $$ $$ Y(s) \left[ s^2 + as +b \right] = R(s) + \left[ s K_1 + a K_1 + K_2 \right] $$ $$ Y(s) = \frac{R(s) +  s K_1 + a K_1 + K_2}{s^2 + as +b} .$$ Agora, bastaria encontrar $$ y(t) = \mathscr{L}^{-1}\{ Y(s) \} = \mathscr{L}^{-1}\left\{ \frac{R(s) +  s K_1 + a K_1 + K_2}{s^2 + as +b} \right\}$$ que teremos a solução do problema de valor inicial.

Na solução dos exercícios abaixo usamos as integrais tabeladas dadas abaixo. Para uma tabela mais completa sobre a Transformada de Laplace, confira este nosso artigo.

Solução de E.D.O.’s via Tranformada de Laplace: Lista de Exercícios Resolvidos

1) y'' - 3y' +2y= e^{3t},   y(0)=1 e y'(0) = 0 ;

2) y'' + 2y= \text{sen}(2t) ,   y(0)=2 e y'(0) = 0 ;

3) y'' - 3y' +2y= \left\{ \begin{array}{rl} 0; & 0 \leq t < 1 \\ 1;& t \geq 1 \end{array} \right. ,   y(0)=1 e y'(0) = 0 ;

Conclusão

A Transformada de Laplace emerge como uma ferramenta poderosa na solução de Equações Diferenciais Ordinárias, oferecendo uma abordagem sistemática para enfrentar desafios complexos na engenharia. Através dos exercícios resolvidos apresentados, é possível não apenas compreender a aplicabilidade e eficácia deste método, mas também desenvolver uma base sólida para a resolução de problemas similares. Este artigo serve como um guia prático para aqueles que buscam dominar as E.D.O.’s, proporcionando uma ponte entre a teoria matemática e a aplicação prática, essencial para o sucesso no campo da engenharia.

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