O que são Séries de Potências? Definição, Convergência e Exemplos.

As Séries de Potências são um caso particularmente importante das séries de funções, com inúmeras aplicações tanto teóricas como práticas. Uma série de potências é uma série de funções dada por $$\sum_{n=0}^{\infty}{a_n (x-x_0)^n},$$ onde (a_n) é uma sequência de números reais.

Esse série de potências converge em um ponto x se o limite $$\lim_{x \rightarrow \infty}{\sum_{n=0}^{m}{a_n (x-x_0)^n}}$$ existe para esse x. Daí, podemos concluir que:

• A série converge em x = x_0;
• A série pode convergir para alguns valores de x ou para todo x;
• A série pode não convergir.

Teste de D’Alembert ou Teste da Razão

Existem vários testes para verificar a convergência de séries de potências.

Um dos mais úteis é o chamado Teste de D’Alembert ou Teste da Razão: 

Se a_n \neq 0 e $$\lim_{n \rightarrow \infty}{\left| \frac{a_{n+1}(x-x_0)^{n+1}}{a_n(x-x_0)^n} \right|} = L$$ existe, temos que

1. 1. se L <1 então a série é convergente;
   2. se L> 1 então a série é divergente;
   3. se L=1 então o teste é inconclusivo.

EXEMPLO 1

Para quais valores a série de potências $$\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^{n+1} n (x-2)^n}$$ converge?

Pelo teste da razão temos que $$\left| \frac{(-1)^{n+2} (n+1) (x-2)^{n+1}}{(-1)^{n+1} n (x-2)^n} \right| = $$ $$= |x-2| \left| \frac{-(n+1)}{n} \right| = $$ $$= |x-2| \frac{n+1}{n} \longrightarrow |x-2|$$ quando n \longrightarrow \infty.

Portanto, queremos todos os valores de x tais que |x-2| < 1.

Para tal temos que $$|x-2| < 1 \Leftrightarrow -1 < x – 2 < 1 \Leftrightarrow 1 < x < 3 .$$

Convergência Absoluta da Série de Potências

Dizemos que a série $$\sum_{n=0}^{\infty}{a_n (x-x_0)^n}$$ converge absolutamente em um ponto x se $$\sum_{n=0}^{\infty}{\left| a_n (x-x_0)^n\right|}$$ converge.

Toda série absolutamente convergente é convergente, mas nem toda série convergente é absolutamente convergente.

O teste da razão nos diz que uma série além de convergir esta convergência é absoluta.

O Raio de Convergência da Série de Potências

Existe um número não-negativo \rho, chamado raio de convergência, tal que $$\sum_{n=0}^{\infty}{a_n (x-x_0)^n}$$ converge absolutamente para |x-x_0|< \rho e diverge para |x-x_0|> \rho.

Para uma série convergente apenas em x_0 dizemos que \rho = 0 e para uma série que converge para todo x dizemos que o rho é infinito.

Se \rho >0, o intervalo |x-x_0|< \rho é denominado intervalo de convergência.

EXEMPLO 2

Determine o raio de convergência da série de potência $$\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(x+1)^n}{n 2^n}}.$$

Pelo teste da razão $$\left| \frac{\frac{(x+1)^{n+1}}{(n+1) 2^{n+1}}}{\frac{(x+1)^n}{n 2^n}} \right| = \frac{|x+1|}{2} \left| \frac{n}{n+1} \right| \longrightarrow \frac{|x+1|}{2}$$ quando n \longrightarrow \infty.

Portanto, a série converge absolutamente para |x+1|<2, ou seja, o raio de convergência da série acima é \rho = 2 e o raio de convergência é dado por -3 < x <1.

Propriedades das Séries de Potências

Vamos ver algumas propriedades das funções que são descritas por séries.

Sejam \sum_{n=0}^{\infty}{a_n (x-x_0)^n} convergindo para f(x) e \sum_{n=0}^{\infty}{b_n (x-x_0)^n} convergindo para g(x) no intervalo de convergência |x-x_0|< \rho, \rho >0.

Daí,

1. As séries pode ser somadas ou subtraídas termo a termo: $$f(x) \pm g(x) = \sum_{n=0}^{\infty}{a_n (x-x_0)^n} + \sum_{n=0}^{\infty}{b_n (x-x_0)^n} = \sum_{n=0}^{\infty}{(a_n \pm b_n) (x-x_0)^n} $$ e a série resultante converge pelo menos no intervalo |x-x_0|< \rho;
2. As séries podem ser multiplicadas: $$f(x) . g(x) = \sum_{n=0}^{\infty}{a_n (x-x_0)^n} . \sum_{n=0}^{\infty}{b_n (x-x_0)^n} = \sum_{n=0}^{\infty}{(c_n) (x-x_0)^n} $$ onde c_n = a_0b_0 + a_1b_1+...+a_nb_n e a série resultante converge pelo menos no intervalo |x-x_0|< \rho;
3. Se g(x) \neq 0 as séries podem ser formalmente divididas: $$\frac{f(x)}{g(x)} = \sum_{n=0}^{\infty}{(d_n) (x-x_0)^n} $$ onde d_n pode ser obtido pela relação $$\sum_{n=0}^{\infty}{a_n (x-x_0)^n} = \sum_{n=0}^{\infty} \left( \sum_{k=0}^{\infty}{d_k b_{n-k}(x-x_0)^n} \right)$$ e neste caso o raio de convergência pode ser menor do que \rho.

Expandindo funções pela Série de Potências

Nosso interesse é escrever funções em forma de séries.

Os exemplos mais comuns de séries de potências são

$$
\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty}{x^n} = 1+x+x^2+… \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(x \neq 1)$$
$$
e^x = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^n}{n!}} = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+…. $$
$$
\cos{x} = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}} = 1- \frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-…. $$
$$
\sin{x} = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}} = x- \frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-…. $$

TEOREMA: Seja \sum_{n=0}^{\infty}{a_n (x-x_0)^n} uma série de potências em torno de x_0 cujo raio de convergência é \rho > 0. Se f é uma função definida por $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}{a_n (x-x_0)^n}$$ então f'(x) existe para cada x do intervalo aberto (-\rho, \rho) e $$f'(x) = \sum_{n=0}^{\infty}{n a_n (x-x_0)^{n-1}}$$

EXEMPLO 3

Obtenha uma representação em série de potência da função $$\frac{1}{(1-x)^2}.$$

Temos que $$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty}{x^n} = 1+x+x^2+… \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(|x|<1)$$ e $$\left( \frac{1}{1-x} \right)’ = \frac{1}{(1-x)^2}.$$

Pelo teorema acima, temos que $$\frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n=0}^{\infty}{n x^{n-1}} = 1+2x+3x^2+…$$

Função Analítica Real

Uma função real f(x) é chamada de analítica num ponto x=x_0 se ela pode ser representada por uma série de potências de (x-x_0) com raio de convergência \rho >0.

EXEMPLO 4

A função $$f(x) = \frac{1}{1+x^2}$$ é analítica em torno de x=0.

De fato, $$\frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n x^{2n}} = 1-x+x^2-x^3+… $$

Pelo testa da razão temos que $$\lim_{n \rightarrow \infty}{\left|\frac{(-1)^{n+1}x^{2(n+1)}}{(-1)^n x^{2n}} \right|} = $$ $$ = lim_{n \rightarrow \infty}{\left| x^2 \right|}=x^2<1\Rightarrow -1 < x < 1 \Rightarrow |x-0|<1.$$

Portanto, a função f(x) é analítica em torno de x=0.

Unicidade da Representação em Série de Potências

Sejam $$\sum_{n=0}^{\infty}{a_n (x-x_0)^n} $$ e $$\sum_{n=0}^{\infty}{b_n (x-x_0)^n} $$ séries de potências convergentes no intervalo |x-x_0|< \rho.

Se $$\sum_{n=0}^{\infty}{a_n (x-x_0)^n} = \sum_{n=0}^{\infty}{b_n (x-x_0)^n} = f(x) $$ então a_n = b_n para todo n.

EXEMPLO 5

Para exemplificar a unicidade da representação em série de potências considere que $$f(x) = e^{x} = \sum_{n=0}^{\infty}{a_n (x-x_0)^n} = \sum_{n=0}^{\infty}{b_n (x-x_0)^n}$$ onde $$\sum_{n=0}^{\infty}{a_n (x)^n} = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!} (x)^n}$$ e $$\sum_{n=0}^{\infty}{b_n (x)^n} = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(0)}{n!} (x)^n}.$$

Daí, $$\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(0)}{n!} (x)^n} = e^0x^0+e^0x^1+\frac{e^0}{2!}x^2+…+\frac{e^0}{n!}x^n+… = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!} (x)^n}$$

Séries de Taylor e de Maclaurin

Um tipo de série de potências são as chamadas séries de Taylor em torno de x=x_0, cujo a_n é dado por $$a_n = \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}.$$

Portanto, toda função que possua derivadas de qualquer ordem no ponto x_0 possui sua representação em série de potências dada por $$\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n}.$$

Quando x_0 = 0 a série se chama Série de Maclaurin.

Usando as Séries de Taylor, podemos fácil encontrar as expansões abaixo:

$$
\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n x^n} = 1-x+x^2-… \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(|x|\neq 1)$$
$$
\frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n x^{2n}} = 1-x^2+x^3-x^4+… \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(|x|<1)$$
$$
\log{(1+x)} = \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n+1} \frac{x^{n}}{n}} = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-…. $$
$$
\arctan{x} = \sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}} = x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-…. $$

Exemplo (A Integral-Exponencial)

Vamos resolver a integral $$ \int{\frac{e^x -1}{x} dx}.$$ Primeiramente vamos observar que $$ \int{\frac{e^x -1}{x} dx} = \int{\frac{e^x}{x} dx} – \int{\frac{1}{x} dx} = \int{\frac{e^x}{x} dx} – \ln{|x|} +c.$$

A integral \int{\frac{e^x}{x} dx} é conhecida como a integral exponencial, que é uma uma função especial no plano complexo que é definida como uma integral definida particular da razão entre uma função exponencial e seu argumento. A nossa é uma integral indefinida, mas a técnica de solução permanece a mesma.

Para resolver esta equação usaremos o fato de que $$e^x = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^n}{n!}} = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+….$$ e observaremos que $$\frac{e^x}{x} = \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{x^{n-1}}{n!}}.$$ Logo, como esta expansão em série de potências da função exponencial é absolutamente convergente podemos concluir que \begin{eqnarray} \int{\frac{e^x}{x} dx} & = & \int{x^{-1}dx} + \int{\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{x^{n-1}}{n!} dx}} \\ & = & \ln{|x|} + \sum_{n=1}^{\infty}\int{\frac{x^{n-1}}{n!} dx} \\ & = & \ln{|x|} + \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{x^{n}}{n! \times n}} + c . \end{eqnarray}

Portanto, $$ \int{\frac{e^x -1}{x} dx} = \ln{|x|} + \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{x^{n}}{n! \times n}} – \ln{|x|} +c = \\ = \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{x^{n}}{n! \times n}} + c.$$ Usando o Teste da Razão, podemos concluir facilmente que a série \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{x^{n}}{n! \times n}} converge absolutamente (fizemos esta passagem em detalhes nesta lista de exercícios resolvidos).

Listas de Exercícios Resolvidos Sobre Séries de Potência

• Séries de Potências | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

Leia Mais:

• Solução de Equações Diferenciais Ordinárias por Séries de Potência
• Como Elaborar um Estudo Estatístico Descritivo?
• O Delta de Dirac | Da definição à solução de Equações Diferenciais
• Desafios de Matemática: 11 problemas para desafiar sua mente
  

Livros Indicados Sobre o Tema:

1. “Um Curso de Cálculo, vol. 4”. Hamilton Luiz Guidorizzi – Link para o livro.
2. “Cálculo – Vol. 2”. Munem e Foulis. – Link para o livro
3. “Cálculo – vol. II”. James Stewart – Link para o livro.

Video-Aula Sobre Séries de Potências: