Séries de Fourier | Ortogonalidade das Funções Seno e Cosseno

1. $$\sin{(x)}\sin{(y)} = \frac{1}{2}\left[ – \cos{(x+y)} + \cos{(x-y)}\right]$$
2. $$\cos{(x)}\cos{(y)} = \frac{1}{2}\left[ \cos{(x+y)} + \cos{(x-y)}\right]$$
3. $$\cos{(x)}\sin{(y)} = \frac{1}{2}\left[ \sin{(x+y)} + \sin{(x-y)}\right]$$

O Produto Interno

EXEMPLO (Produto Interno de Senos)

• Se m = n, então \alpha = \beta e daí, $$<u,v> = \int_{-L}^{L}{\sin^2 \left( \frac{m \pi}{L} x \right) } = $$ $$= \left[ \frac{x}{2} + \frac{\overbrace{\sin{ \left(2 \frac{m \pi}{L} x \right)}}^{que\;\;\; é \;\;\; 0\;\;\;p/\;\;\;x=L\;\;\;ou\;\;\;x=-L\;\;\;}}{4\frac{m \pi}{L}} \right]^{L}_{-L} = L$$.
• Se m \neq n, então \alpha \neq \beta e daí,

EXEMPLO (Produto Interno de Cossenos)EXEMPLO (Produto Interno de Senos com Cossenos)

Funções Ortogonais

ortogonaisconjunto ortogonalEXEMPLOEXEMPLO

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