Data de aplicação: 24/06/2026
Tema da prova: Diferenciabilidade de Funções de Várias Variáveis
Questões:
1) Calcule, se possível, o limite $$\lim\limits_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{\frac{x^2 y^2}{x^2 y^2 + (x-y)^2} }$$
SOLUÇÃO: Fazendo x = \alpha t e y = \beta t , obtemos \begin{eqnarray} \lim\limits_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{\frac{x^2 y^2}{x^2 y^2 + (x-y)^2} } & = & \lim\limits_{t \rightarrow 0}{\frac{t^4 \alpha^2 \beta^2}{t^4 \alpha^2 \beta^2 + t^2 (\alpha – \beta)^2} } \\ & = & \lim\limits_{t \rightarrow 0}{\frac{t^2 \alpha^2 \beta^2}{t^2 \alpha^2 \beta^2 + (\alpha – \beta)^2} }. \end{eqnarray}
Observe que se \alpha \neq \beta então podemos aplicar o limite: $$ \lim\limits_{t \rightarrow 0}{\frac{t^2 \alpha^2 \beta^2}{t^2 \alpha^2 \beta^2 + (\alpha – \beta)^2} } = \frac{0}{0 + (\alpha – \beta)^2} =0.$$ Todavia, se \alpha = \beta então encontraremos um valor diferente para o nosso limite: $$ \lim\limits_{t \rightarrow 0}{\frac{t^2 \alpha^2 \beta^2}{t^2 \alpha^2 \beta^2 + (\alpha – \beta)^2} } = \lim\limits_{t \rightarrow 0}{\frac{t^2 \alpha^2 \beta^2}{t^2 \alpha^2 \beta^2 + 0^2} } = \lim\limits_{t \rightarrow 0}{\frac{t^2 \alpha^2 \beta^2}{t^2 \alpha^2 \beta^2} } = \lim\limits_{t \rightarrow 0}{1 } = 1 .$$ Portanto, este limite não existe.
2) Considere f(x,y) = \sqrt{|xy|}.
a) Qual o domínio desta função?
SOLUÇÃO: \mathbb{R} ^2 .
b) Esta função é contínua em todos os pontos do plano?
SOLUÇÃO: De fato, sendo (x_0 , y_0 ) qualquer ponto do plano, então f(x_0 , y_0 ) = \sqrt{|x_0 y_0 |} e $$\lim \limits_{(x,y) \rightarrow (x_0 , y_0 )}{\sqrt{|xy|}} = \sqrt{|x_0 y_0 |} = f(x_0 , y_0 ) .$$ Portanto, pela definição, esta é uma função contínua em todos os pontos do plano.
c) Calcule as derivadas parciais de f(x,y) no ponto (0,0) .
SOLUÇÃO: \begin{eqnarray} \frac{\partial f }{\partial x } & = & \lim\limits_{h\rightarrow 0}{\frac{f(0 + h,0) – f(0,0)}{h}} \\ & = & \lim\limits_{h\rightarrow 0}{\frac{f(h,0) – f(0,0)}{h}} \\ & = & \lim\limits_{h\rightarrow 0}{\frac{\sqrt{|h \times 0|} – 0}{h}} \\ & = & 0\\ \frac{\partial f }{\partial y } & = & \lim\limits_{h\rightarrow 0}{\frac{f(0,0+h) – f(0,0)}{h}} \\ & = & \lim\limits_{h\rightarrow 0}{\frac{f(0,h) – f(0,0)}{h}} \\ & = & \lim\limits_{h\rightarrow 0}{\frac{\sqrt{|h \times 0|} – 0}{h}} \\ & = & 0 \end{eqnarray}
d) Estude a diferenciabilidade desta função no ponto (0,0)
SOLUÇÃO:
Substituindo o ponto (0,0) na função f(x,y) = \sqrt{|xy|} , encontramos f(0,0) = \sqrt{|0 \times 0|} = 0. Agora, calculando as derivadas parciais desta função no ponto (0,0) , encontramos:
\begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial x } (0,0) & = & \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{\sqrt{|(0 + h) \times 0|} \; – \; 0}{h} } \\ & = & \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{0 \; – \; 0}{h} } \\ & = & 0 \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial y } (0,0) & = & \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{\sqrt{| 0 \times (0 + h) |} \; – \; 0}{h} } \\ & = & \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{0 \; – \; 0}{h} } \\ & = & 0 \end{eqnarray}
Agora, usando a definição de diferenciabilidade investigamos o limite \begin{eqnarray} L & = & \lim_{(x,y) \rightarrow (x_0, y_0)}{ \frac{x^2+y^2 – \left( x_0^2 +y_0^2 + 2x_0 (x-x_0)+ 2y_0 (y-y_0) \right)}{\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}}}\\ & = & \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{ \frac{ \sqrt{|xy|} – \left( 0 + 0 \times (x-0)+ 0 \times (y-0) \right)}{\sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2}}}\\ & = & \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{ \frac{ \sqrt{|xy|}}{\sqrt{x^2 + y^2}}} \end{eqnarray}
Fazendo $$ x(t) = \alpha t \qquad y(t) = \beta t $$ encontramos \begin{eqnarray} L & = & \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{ \frac{ \sqrt{|xy|}}{\sqrt{x^2 + y^2}}}\\ & = & \lim_{t \rightarrow 0}{ \frac{ \sqrt{|\alpha \beta | t^2 }}{\sqrt{t^2 ( \alpha ^2 + \beta ^2 )}}}\\ & = & \lim_{ | t | \rightarrow 0}{ \frac{ | t | \sqrt{|\alpha \beta | }}{t \sqrt{ ( \alpha ^2 + \beta ^2 )}}} \\ & = & \frac{ \sqrt{|\alpha \beta | }}{ \sqrt{ ( \alpha ^2 + \beta ^2)}}\end{eqnarray}
Logo, este limite não existe, consequentemente, a função f(x,y) = \sqrt{|xy|} , não é diferenciável no ponto (0,0) .
3) Seja $$ f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}. $$ Encontre as derivadas parciais de f(x,y) . Em seguida, verifique se f(x,y) é diferenciável em todos os pontos de seu domínio, justificando sua resposta.SOLUÇÃO:
Considere a função
$$
f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}.
$$
O domínio de f é
$$
D_f=\mathbb{R}^2.
$$
1. Cálculo das derivadas parciais
Para (x,y)\neq (0,0), podemos escrever
$$
f(x,y)=(x^2+y^2)^{1/2}.
$$
Derivando em relação a x, temos:
$$
\frac{\partial f}{\partial x} (x,y)
=
\frac{1}{2}(x^2+y^2)^{-1/2}\cdot 2x.
$$
Portanto,
$$
\frac{\partial f}{\partial x} (x,y)=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},
\qquad (x,y)\neq (0,0).
$$
Derivando em relação a y, temos:
$$
\frac{\partial f}{\partial y} (x,y)
=
\frac{1}{2}(x^2+y^2)^{-1/2}\cdot 2y.
$$
Portanto,
$$
\frac{\partial f}{\partial y} (x,y)=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}},
\qquad (x,y)\neq (0,0).
$$
Resta analisar o ponto (0,0), pois as expressões acima não estão definidas na origem.
Pela definição de derivada parcial em relação a x, temos:
$$
\dfrac{\partial f}{\partial x} (0,0)
=
\lim_{h\to 0}
\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}.
$$
Como
$$
f(h,0)=\sqrt{h^2}=|h|
$$
e
$$
f(0,0)=0,
$$
segue que
$$
\dfrac{\partial f}{\partial x} (0,0)
=
\lim_{h\to 0}\frac{|h|}{h}.
$$
Mas
$$
\frac{|h|}{h}
=
\begin{cases}
1, & h>0,\\
-1, & h<0.
\end{cases}
$$
Logo, o limite não existe. Portanto, \dfrac{\partial f}{\partial x} (0,0) não existe.
De modo análogo, pela definição de derivada parcial em relação a y, temos:
$$
\dfrac{\partial f}{\partial y} (0,0)
=
\lim_{h\to 0}
\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}.
$$
Como
$$
f(0,h)=\sqrt{h^2}=|h|,
$$
temos
$$
\dfrac{\partial f}{\partial y} (0,0)
=
\lim_{h\to 0}\frac{|h|}{h}.
$$
Esse limite também não existe. Portanto, \dfrac{\partial f}{\partial y} (0,0) não existe.
Assim, as derivadas parciais de f são
$$
\frac{\partial f}{\partial x} (x,y)=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},
\qquad
\frac{\partial f}{\partial y} (x,y)=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}},
\qquad (x,y)\neq (0,0),
$$
e não existem em (0,0).
2. Análise da diferenciabilidade
Para (x,y)\neq (0,0), as derivadas parciais
$$
\frac{\partial f}{\partial x} (x,y)=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}
$$
e
$$
\frac{\partial f}{\partial y} (x,y)=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}
$$
são contínuas.
Logo, pelo critério de diferenciabilidade, f é diferenciável em todo ponto de \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}.
Na origem, f não é diferenciável. De fato, se uma função é diferenciável em um ponto, então suas derivadas parciais existem nesse ponto. Como \dfrac{\partial f}{\partial x} (0,0) e \dfrac{\partial f}{\partial y} (0,0) não existem, concluímos que f não é diferenciável em (0,0).
Portanto,
$$
f \text{ é diferenciável em } \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}
$$
e
$$
f \text{ não é diferenciável em } (0,0).
$$
Consequentemente, f não é diferenciável em todos os pontos do seu domínio.
4) Determine as derivadas parciais e o vetor gradiente das funções abaixo:
a) f(x,y) = e^{x/y}
SOLUÇÃO:
\begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial x} & = & \frac{{e}^{\frac{x}{y}}}{y} \\ \frac{\partial f}{\partial y} & = & -\frac{x\,{e}^{\frac{x}{y}}}{{y}^{2}} \\ \nabla f (x,y) & = & \left( \frac{{e}^{\frac{x}{y}}}{y} , -\frac{x\,{e}^{\frac{x}{y}}}{{y}^{2}} \right) \end{eqnarray}
b) f(x,y) = \dfrac{sen \left( x^2 \sqrt{y} \right)}{cos \left( y^2 \sqrt{x} \right)};
SOLUÇÃO:
\begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial x} & = & \frac{\mathrm{sen}\left( {x}^{2}\,\sqrt{y}\right) \,{y}^{2}\,\mathrm{sen}\left( \sqrt{x}\,{y}^{2}\right) }{2\,\sqrt{x}\,{\mathrm{cos}\left( \sqrt{x}\,{y}^{2}\right) }^{2}}+\frac{2\,x\,\mathrm{cos}\left( {x}^{2}\,\sqrt{y}\right) \,\sqrt{y}}{\mathrm{cos}\left( \sqrt{x}\,{y}^{2}\right) } \\ \frac{\partial f}{\partial y} & = & \frac{2\,\sqrt{x}\,\mathrm{sen}\left( {x}^{2}\,\sqrt{y}\right) \,y\,\mathrm{sen}\left( \sqrt{x}\,{y}^{2}\right) }{{\mathrm{cos}\left( \sqrt{x}\,{y}^{2}\right) }^{2}}+\frac{{x}^{2}\,\mathrm{cos}\left( {x}^{2}\,\sqrt{y}\right) }{2\,\sqrt{y}\,\mathrm{cos}\left( \sqrt{x}\,{y}^{2}\right) } \\ \nabla f (x,y) & = & \left( \frac{\mathrm{sen}\left( {x}^{2}\,\sqrt{y}\right) \,{y}^{2}\,\mathrm{sen}\left( \sqrt{x}\,{y}^{2}\right) +4\,{x}^{\frac{3}{2}}\,\mathrm{cos}\left( {x}^{2}\,\sqrt{y}\right) \,\sqrt{y}\,\mathrm{cos}\left( \sqrt{x}\,{y}^{2}\right) }{2\,\sqrt{x}\,{\mathrm{cos}\left( \sqrt{x}\,{y}^{2}\right) }^{2}} , \\ \frac{4\,\sqrt{x}\,\mathrm{sen}\left( {x}^{2}\,\sqrt{y}\right) \,{y}^{\frac{3}{2}}\,\mathrm{sen}\left( \sqrt{x}\,{y}^{2}\right) +{x}^{2}\,\mathrm{cos}\left( {x}^{2}\,\sqrt{y}\right) \,\mathrm{cos}\left( \sqrt{x}\,{y}^{2}\right) }{2\,\sqrt{y}\,{\mathrm{cos}\left( \sqrt{x}\,{y}^{2}\right) }^{2}} \right) \end{eqnarray}
