O Jogo do Par ou Ímpar das Funções Reais

Um grande problema enfrentado pelos professores de matemática é a deficiência no raciocínio lógico que se faz presente em grande parte dos alunos, não só nas etapas preparatórias do ensino, como também nas cadeiras de nossas universidades.

Esta adversidade é um entrave no ensino na matemática e uma atenuante da evasão cada vez mais maciças dos cursos de licenciatura ou bacharelado em matemática.

O que venho apresentar é uma inciativa de utilizar um conteúdo que diversas vezes é exposto de maneira inexplorada (as funções pares e ímpares) e que poderia contribuir de forma contundente no desenvolvimento deste tão precioso raciocínio lógico.

Duas questões motivadoras

Já nos primeiros anos do ensino médio, fazemos um estudo das funções.

E neste processo, as funções ditas pares e ímpares possuem um papel coadjuvante.

Pois bem, o mais interessante da troca entre professor e aluno em sala de aula são as questões levantadas naquele momento de pura interação em que muitas mentes trabalham em prol do desenvolvimento da matemática.

Estas questões podem nascer do raciocínio do professor e na melhor das oportunidades, da mente de um aluno perspicaz.

E numa destas mentes sagazes que encontramos no cotidiano docente fui alvejado por duas perguntas que ali, naquele momento, por estar absorto e concentrado na evolução do conteúdo não consegui responder, mas que depois se tornou uma análise interessante, apesar de sua simplicidade.

Porém, o mais instigante é que a resposta de uma indagação levava à solução da outra.

Começava o jogo do par ou ímpar das funções reais.

É conhecido, mesmo nos primeiros anos do ensino médio, que existem funções pares, ímpares e funções que não são nem pares e nem ímpares.

A primeira questão nasce desta “tricotomia”.

Nas palavras do aluno sagaz:

“se existem funções que não são nem pares e nem ímpares, existem funções que sejam pares e ímpares simultaneamente?”

A segunda questão decorre de uma das propriedades do produto de funções pares e ímpares:

“…mas, a função f(x)=0 satisfaz a definiçao de função par e para qualquer função ímpar g(x), f(x).g(x)=0 é uma função par. A propriedade não está furada?”

Pensando analiticamente sobre funções pares e ímpares

Antes de mais nada, vamos lembrar que, analiticamente, uma função f é dita par se seu domínio contem o ponto -x, bem como o ponto x e se satisfaz $$f(x) = f(-x).$$

De maneira análoga, uma função f é dita ímpar se seu domínio contém o ponto -x, bem como o ponto x e se satisfaz $$-f(x) = f(-x).$$

Um exemplo claro de uma função par é a função cosseno, assim como a função seno é um função ímpar.

Ainda é fácil verificar que a função x-1 não satisfaz nenhuma das definições acima, sendo classificada como uma função nem par e nem ímpar.

As propriedades básicas das funções pares e ímpares podem ser resumidas da seguinte maneira:

O produto de duas funções pares ou duas funções ímpares gera uma funçao par e o produto de um função par por uma função ímpar gera uma função ímpar.

Nossa segunda questão motivadora tem alvo na segunda parte da propriedade enunciada acima.

Perceba que f(x)=0 é uma função par e que dada uma função ímpar g(x), o produto f(x)g(x) =0 é uma função par, contrariando parte das propriedades enunciadas previamente que são devidamente demonstradas com raciocínio matemático trivial e as definições de função par ou ímpar.

Então, qual o problema aqui?

O problema esta na função f(x)=0.

Note que se f(x) = 0, então f(x) = f(-x) e f(-x) = -f(x), ou seja, esta função também é uma função ímpar.

Sendo assim, o produto f(x)g(x), sendo f(x)=0 cai na primeira parte da propriedade enunciada.

Como bônus, respondemos a primeira pergunta, exibindo f(x)=0 como uma função que satisfaz simultaneamente as definições de função par e de função ímpar.

Existem outras funções que sejam simultaneamente pares e ímpares?

Após este exemplo, a pergunta natural que nos aparece é quanto a existência de funções reais que sejam pares e ímpares simultaneamente, mas que sejam diferentes da função nula.

Suponhamos que exista tal função e denote-a por g(x).

Sendo assim, esta função satisfaz as duas definições, ou seja, $$g(x) = g(-x)$$ e $$-g(x) = g(-x),$$ ou seja, a imagem de -x pela função g assume dois valores que são distintos caso g(x)\neq 0 para todo x no domínio de g.

Entre outras palavras, se g(x) for diferente da função nula, ela não satisfaz a definição de função, onde para cada ponto x do domíno, deve haver apenas um ponto g(x) no contradomínio.

Considerações Finais.

Ao solucionar a questão do aluno me veio à mente que este raciocínio seria muito simples e me perguntei qual o ganho real desta abordagem?

O primeiro ganho seria quanto a grandeza didática implícita nesta ideia.

A simplicidade do raciocínio é inversamente proporcional à sua importância no aprendizado, pois um grande entrave no desenvolvimento do pensamento matemático do aluno é a falta de contato com demonstrações e raciocínios lógicos mais abstratos.

Porém, a análise realizada para funções pares e ímpares já pode ser trabalhada nos primeiros anos do ensino médio por só utilizar a noção básica de função e a definição do que é uma função par ou ímpar que faz parte da grade curricular obrigatória desta etapa do ensino.

Pode-se facilmente utilizar as demonstrações das propriedades enunciadas neste texto como uma forma de já familiarizar o aluno com este tipo de abordagem mais generalizada e tornar, ao pucos, natural este tipo de abordagem.

Entretanto, o ganho intelectual do aluno vai além, pois este tipo de análise é baseada no tripé compreensão-abstração-solução que se torna o alicerce mental para encarar futuros problemas que o estudante venha a encarar em sua vida acadêmica.

O segundo, e não menos importante ganho, seria fornecer ao meu aluno uma resposta satisfatória para a sua pergunta.

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