Coeficientes Indeterminados | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos

Neste artigo temos uma quarta lista de exercícios resolvidos sobre o Método dos Coeficientes Indeterminados (ou à determinar). O Método dos Coeficientes Indeterminados consiste em uma hipótese inicial sobre a forma da solução particular y_P (t) (mas com os coeficientes não especificados) da estrutura y(t) = y_{H}(t) + y_{P} (t), da equação y'' +by'+cy = f(t), que são EDO’s lineares, não-homogêneas com coeficientes constantes e f é definida e contínua em um intervalo I.

Daí substituímos a solução hipotética na EDO original e determinamos os coeficientes. Por fim, basta somarmos esta solução particular, y_P(t), com a solução da equação homogênea associada, y_H (t), que teremos uma solução geral para a EDO y'' + by'+cy = f(t).

Num primeiro momento, nossas funções f(t) serão apenas funções contínuas em todo o conjunto real, como:

• Trigonométricas;
• Exponenciais
• Polinômios;

Para ajudar a escolher uma foram geral de f(t), usamos a tabela abaixo:

Método dos Coeficientes Indeterminados | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos

1) Resolva as EDOs abaixo:

(a) 2y'' - 3y' + 4 y = te^{2t}

Primeiramente vamos encontrar a solução da equação homogênea associada 2y'' - 3y' + 4 y = 0:

$$2y” – 3y’ + 4 y = 0 \Rightarrow 2 \lambda ^2 – 3 \lambda + 4 = 0 \Rightarrow \lambda _1 =\frac{3}{2} + i \frac{\sqrt{23}}{2} \;\;e\;\; \lambda _2 = \frac{3}{2} – i \frac{\sqrt{23}}{2}.$$

Logo, $$y_{H} (t) = e^{\frac{3}{2} t} \left( c_1 cos \left( \frac{\sqrt{23}}{2} t \right) + c_2 sen\left( \frac{\sqrt{23}}{2} t \right) \right) $$

Agora, usando o Método dos Coeficientes Indeterminados, considerando y_{p} (t) = (at+b) e^{2t}, derivando duas vezes e substituindo na EDO completa encontramos:

$$e^{2t} \left( 6at + 6b +5a \right) = t e^{2t} \Rightarrow a= 1/6; \;\;\; b= -5/36. $$

Logo, y_{p} (t) = \left( \dfrac{1}{6} t - \dfrac{5}{36} \right) e^{2t}.

Portanto, $$y(t) = e^{\frac{3}{2} t} \left( c_1 cos \left( \frac{\sqrt{23}}{2} t \right) + c_2 sen\left( \frac{\sqrt{23}}{2} t \right) \right) + \left( \frac{1}{6} t – \frac{5}{36} \right) e^{2t}.$$

(b) y'' - 5y' +4y = 8 e^x

SOLUÇÃO: A equação homogênea associada, dada por y'' - 5y' +4y = 0 , possui solução dada por $$y_h(x) = c_1 e^{x}+c_2e^{4x},$$ pois sua equação característica m^2 - 5m +4 = 0 possui duas raízes reais e distintas dadas por m_1 = 1 ; m_2 = 4.

A solução particular da EDO não-homogênea pode ser encontrada fazendo $$ y_p(x) = Ax e^x,$$ pois o termo e^x aparece na solução particular, nos impedindo de usar como solução particular A e^x .

Desta forma, substituindo y_p(x) = Ax e^x na EDO entramos $$Axe^x +2 Ae^x – 5A xe^x – 5A e^x+ 4A xe^x = 8 e^x$$ $$-3Ae^x = 8 e^x .$$ Portanto, encontramos A = - \dfrac{8}{3} , ou seja, $$ y_p(x) = – \frac{8}{3}x e^x$$ e nossa solução geral será: $$ y(x) = c_1 e^{x}+c_2e^{4x}- \frac{8}{3}x e^x$$

(c) y'' - 2y' -3y = 4x - 5 + 6x e^{2x}

SOLUÇÃO: Primeiramente, a solução para a equação homogênea associada y'' - 2y' - 3y = 0 é $$ y_h (x) = c_1 e^{-x} + c_2 e^{3x} [/katex], pois a equação homogênea associada m^2 - 2m -3 = 0 tem duas raízes reais e distintas dadas por m_1 = -1 e m_2 = 3 .

Usando o princípio da superposição podemos encontrar uma solução particular da EDO não-homogênea dada por $$y_p(x) = y_{p_1}(x) + y_{p_2}(x) $$ onde y_{p_1}(x) é uma função polinomial na forma $$y_{p_1}(x) = Ax + B$$ e y_{p_2}(x) é uma função na forma $$y_{p_2}(x) = Cxe^{2x} + De^{2x}.$$

É importante ressalta que y_{p_2}(x) tem esta forma, pois a derivada de x e^{2x} produz termos iguais a x e^{2x} e e^{2x} . Logo, é natural supor que a solução particular neste caso também possua estes dois termos.

Desta forma, podemos escrever $$y_p(x) = y_{p_1}(x) + y_{p_2}(x) = Ax + B +  Cxe^{2x} + De^{2x}.$$

Substituindo esta solução particular na EDO não-homogênea temos $$y_p” – 2y_p’ – 3y_p =-3Ax-2A-3B-3Cxe^{2x}+(2C-3D) e^{2x} = 4x-5+6xe^{2x}$$ que nos leva a um sistema de quatro equações e quatro incógnitas$$-3A = 4$$ $$-2A-3B = -5$$ $$-3C = 6$$ $$-2C-3D = 0.$$

Resolvendo este sistema encontramos A = - \dfrac{4}{3} ,  B =  \dfrac{23}{9} , C = - 2 e D = - \dfrac{4}{3} .

Portanto, $$y_p(x) = – \frac{4}{3}x + \frac{23}{9} – 2xe^{2x}  – \frac{4}{3}e^{2x},$$ o que nos leva a $$ y(x) = c_1 e^{-x} + c_2 e^{3x} – \frac{4}{3}x + \frac{23}{9} – 2xe^{2x}  – \frac{4}{3}e^{2x}.$$

d) y'' + 2y' +2y = 5 e^{-t} sen(t) + 5t^3e^{-t} cos(t) ;

SOLUÇÃO: 

A equação homogênea associada é dada por y'' + 2y' +2y =0 e sua solução é dada por $$y_{h}{t} = c_1 e{-t}+ c_2 t e{-t}.$$ A solução particular será na forma y_{p}(t) = t (A t^3+ B t^2 + C t +D) e^{-t} cos(t) + t (E t^3+ F t^2 + G t +H) e^{-t} sen(t) e substituindo na EDO encontramos: $$A = C = H = F = 0; B = 5/4; D = -35/8; E = 5/8; G = -15/8 . $$ Logo y_{p}(t) = e^{-t} t cos(t) \left(5/4 t^2 -35/8 \right) + e^{-t} t sen(t) \left(5/8 t^3 - 15/8 t \right) . Portanto, $$ y(t) = c_1 e{-t}+ c_2 t e{-t} + e^{-t} t cos(t) \left(5/4 t^2 -35/8 \right) + e^{-t} t sen(t) \left(5/8 t^3 – 15/8 t \right) .$$

Leia Mais:

• Equações Diferenciais Ordinárias de 2ª Ordem, Homogêneas, com Coeficientes Constantes
• Equações Diferencias Ordinárias de 2ª Ordem: Equações Homogêneas
• Equações Diferencias Ordinárias de 2ª Ordem: O Princípio da Superposição
• Variação dos Parâmetros: EDOs de 2ª Ordem Lineares

Assista Nossa Vídeo-Aula Sobre o Método dos Coeficientes Indeterminados: