A Integral das Funções Vetoriais | Curvas no Espaço

Nesse artigo queremos desenvolver os conceitos de limite e continuidade para uma função vetorial, ou seja, uma função de uma variável a valores vetorias, também conhecida como curva.

Uma função de uma variável a valores em \mathbb{R}^n é uma função F:A \rightarrow \mathbb{R}^n, onde A é um subconjunto de \mathbb{R}.

Esta função associa a cada t \in \mathbb{R} um vetor do \mathbb{R}^n.

O conjunto A é o domínio da função F, que consideraremos sempre como um intervalo ou uma união de intervalos, e notado por D_F.

O conjunto $$ImF=\left\{F(t) \in \mathbb{R}^n ; t \in D_F \right\}$$ é a imagem ou a trajetória de F.

Esta função é, por muitas vezes, denominada de função vetorial ou curva.

A Integral das Funções Vetoriais

Seja F: [a,b] \in \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n.

Então F será integravel em [a,b] se cada uma de suas funções coordenadas for integrável neste intervalo.

Neste caso, a integral de uma função F(t) no intervalo [a,b] é definida por $$\int_a ^b{F(t)}dt=\left( \int_a ^b{F_1}(t)dt, \int_a ^b{F_2}(t)dt, …, \int_a ^b{F_n}(t)dt\right).$$

Como consequência da desta definição, para duas funções F,G: [a,b] \in \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n temos que $$\int_a ^b{\left( \alpha F(t)+ \beta G(t) \right)}dt = \alpha \int_a ^b{F(t)}dt+ \beta \int_a ^b{G(t)}dt.$$

EXEMPLO

Calcule \int_0 ^1{\left( t i + 4 j +t^2 k \right)}dt.

$$
\int_{0}^{1}{\left( t i + 4 j +t^2 k \right)}dt = \left( \int_0 ^1{t}dt i + \int_0 ^1{4}dt j +\int_0 ^1{t^2}dt k \right) = $$ $$= \left( \frac{t^2}{2}, 4t, \frac{t^3}{3} \right)_0 ^1 = \left( \frac{1}{2}, 4, \frac{1}{3} \right)
$$

EXEMPLO

Considere F(t) = \left(t,1,e^t \right) e G(t)=(1,t,0).

Calcule:

1) \int{(F.G)(t)}dt

2) \int{F(t)}dt.\int{G(t)}dt

No primeiro caso, obtemos

\begin{eqnarray*}
\int{(F.G)(t)}dt & = & \int{(t+t)}dt\\
& = & \int{2t}dt\\
& = & t^2 + C
\end{eqnarray*}

Já no segundo problema encontramos

\begin{eqnarray*}
\int{F(t)}dt.\int{G(t)}dt & = & \left( \frac{t^2}{2}+c_1,t+c_2, e^t+c_3 \right).\left( t+c_4,\frac{t^2}{2}+c_5, 0 \right) \\
& = & \frac{t^3}{2}+c_4 \frac{t^2}{2}+c_1 t+c_1.c_4+\frac{t^3}{2} + c_2 \frac{t^2}{2} + tc_5+c_2.c_5\\
& = & t^3 + K \frac{t^2}{2}+ K_1 t + K_2\\
\end{eqnarray*}

Agora, vamos calcular as mesmas integrais trocando os produtos escalares por produtos vetoriais. Ou seja, vamos calcular:

1) \int{(F \wedge G)(t)}dt

2) \int{F(t)}dt \wedge\int{G(t)}dt

Primeiramente,

\begin{eqnarray*}
\int{(F\wedge G)(t)}dt & = & \int{\left( k\,\left( {t}^{2}-1\right) -{e}^{t}\,i\,t+{e}^{t}\,j \right)}dt\\
& = & -\frac{t^2}{2}{e}^{t}\,i+ {e}^{t}\,j\ +k\,\left( \frac{{t}^{3}}{3} -t \right)\\
& = & \left( -\frac{t^2}{2}{e}^{t} + c_1, {e}^{t} + c_2, \left( \frac{{t}^{3}}{3} -t \right) +c_3 \right)
\end{eqnarray*}

No segundo caso,

\begin{eqnarray*}
\int{F(t)}dt\wedge \int{G(t)}dt & = & \left( \frac{t^2}{2}+c_1,t+c_2, e^t+c_3 \right)\wedge \left( t+c_4,\frac{t^2}{2}+c_5, 0 \right) \\
& = & -\left( {e}^{t}+c_3\right) \left( \frac{{t}^{2}}{2}+c_5\right) i+ \\
& & +k\,\left( \left( \frac{{t}^{2}}{2}+c_1\right) \,\left( \frac{{t}^{2}}{2}+c_5\right) -\left( t+c_2\right) \,\left( t+c_4\right) \right) +\\
& & + \left( {e}^{t}+c_3\right) \left( t+c_4\right) j\\
\\
& = & \left( -\left( {e}^{t}+c_3\right) \left( \frac{{t}^{2}}{2}+c_5\right) , \right.\\
& & \left. \left( {e}^{t}+c_3\right) \left( t+c_4\right), \,\left( \left( \frac{{t}^{2}}{2}+c_1\right) \,\left( \frac{{t}^{2}}{2}+c_5\right) -\left( t+c_2\right) \,\left( t+c_4\right) \right) \right)\\
\end{eqnarray*}

OBSERVAÇÃO

Por esse exemplo podemos perceber que nem sempre podemos garantir as igualdades $$\int{(F.G)(t)}dt=\int{F(t)}dt.\int{G(t)}dt$$ e $$\int{(F \wedge G)(t)}dt = \int{F(t)}dt \wedge\int{G(t)}dt.$$

Algumas Interpretações Físicas da Integral de Funções Vetoriais

Seja \vec{F} (t) uma força, dependendo do tempo t, que atua sobre uma partícula entre os instantes t_1 e t_2 .

Se \vec{F} (t) for integrável em [t_1 , t_2 ] , então o vetor $$\vec{I} = \int_{t_1}^{t^2}{\vec{F} (t) dt}$$ denomina-se impulso de \vec{F} (t) no intervalo de tempo [t_1 , t_2 ] .

Usando a lei de Newton $$ \vec{F} (t) = m \vec{a} (t)$$ É possível mostrar que se \vec{F} (t) é a força resultante que atua, no instante t, sobre uma partícula de massa m que se move no espaço, então o impulso de \vec{F} (t) no intervalo de tempo [t_1 , t_2 ] é igual à variação da quantidade de movimento, isto é, $$\vec{I} = \int_{t_1}^{t^2}{\vec{F} (t) dt} = m \vec{v} _2 – m \vec{v} _1$$ onde \vec{v} _1 e  \vec{v} _2 são, respectivamente, as velocidades nos instantes t_1 e t_2 (Essa demonstração é facilmente feita lembrando que \vec{a} (t) = \vec{v} ' (t)).

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