Uma Breve História do Cálculo Diferencial e Integral

O Cálculo Diferencial e Integral está fundamentado em um conjunto de operações envolvendo quatro operadores: limite, diferencial, derivada, e integral.

Existe, além da relação matemática, uma ligação física muito forte entre esses operadores.

Através do limite se chega na diferencial e na derivada.

A integral é uma operação sobre a diferencial; o resultado mais simples de uma integral é uma diferença, cuja aplicação é fundamental nas Ciências Exatas.

A Descoberta do Cálculo

A “descoberta” do cálculo é devida ao inglês Sir Isaac Newton e ao alemão Gottfried Wilhelm Leibniz vários anos depois, porém de forma independente.

Ambos trataram de investigar a diferenciação e a integração como operações inversas uma da outra. Entretanto o conceito fundamental do cálculo é o limite, que está presente em ambas as noções de derivada e integral.

Isaac Newton

Sir Isaac Newton foi um físico e matemático inglês, figura culminante da Revolução Científica do século XVII.

Na ótica, sua descoberta da composição da luz branca integrou o fenômeno das cores à ciência da luz e lançou as bases para a ótica física moderna.

Na mecânica, suas três leis do movimento, os princípios básicos da física moderna, resultaram na formulação da lei da gravitação universal.

Na matemática, ele foi o descobridor original do cálculo infinitesimal.

Seu livro “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica de Newton” (Princípios matemáticos da filosofia natural, 1687) foi uma das obras mais importantes na história da ciência moderna.

Gottfried Wilhelm Leibniz

Gottfried Wilhelm Leibniz foi um filósofo, matemático e conselheiro político alemão, importante tanto como metafísico quanto como lógico, e também conhecido por sua invenção independente do cálculo diferencial e integral.

Leibniz foi o matemático alemão que desenvolveu a notação atual para o cálculo diferencial e integral, embora nunca tenha pensado na derivada como um limite.

Sua filosofia também é importante e ele inventou uma das primeiras máquinas de calcular.

A Ideia de Limite Veio da Matemática Grega

A idéia de limite é bastante antiga.

É interessante destacar, por exemplo, que ela foi aplicada pelos gregos na geometria.

Arquimedes queria calcular a área do círculo e considerou polígonos regulares inscritos neste círculo.

Fazendo o número de lados dos polígonos cada vez maiores, ele pôde aproximar, por “falta”, a área do círculo como limite das áreas dos polígonos.

Depois, considerando polígonos regulares circunscritos no círculo e, novamente, fazendo o número de lados dos polígonos cada vez maior, Arquimedes pôde aproximar a área do círculo por “sobra” como limite das áreas dos polígonos circunscritos.

Este processo era conhecido como O PRINCÍPIO DA EXAUSTÃO e ajudou a constatar que a área do círculo de raio r é 2\pi r, onde \pi é um número entre 3\frac{1}{7} e 3\frac{10}{71}.

Um dos aspectos do cálculo é prover uma maneira apropriada de calcular áreas, volumes, e outras quantidades que vão além dos métodos dos gregos antigos.

Essa ideia será expandida para o conceito da Integral de Riemman futuramente.

A Integral e a Derivada

O conceito de Integral surgiu na tentativa de se determinar uma operação que fosse inversa da operação de derivação ou diferenciação.

Pretendia-se encontrar uma antiderivada, um objeto de procura tando de Newton como Leibniz.

A noção de derivada pode ser exemplificada através da noção de velocidade instantânea. Consideremos o movimento de uma partícula.

Consideremos \Delta s uma pequena distância percorrida pela partícula num pequeno intervalo de tempo \Delta t, digamos, entre os tempos t=t_0 e t=t_1.

Então a velocidade média da partícula entre t=t_0 e t=t_1 é dada por {\Delta s}/{\Delta t}.

A velocidade instantânea no instante t=t_0 pode ser calculada aproximando-se t_1 de t_0.

Assim, quando \Delta t fica pequeno, \Delta s também fica pequeno e, no limite, a razão {\Delta s}/{\Delta t} se aproxima da velocidade instantânea.

De maneira análoga, a noção de derivada aparece no cálculo da aceleração da partícula.

Quando fazemos \Delta t suficientemente pequeno, a aceleração média dada pela razão {\Delta v}/{\Delta t}, onde \Delta v denota uma pequena variação da velocidade, se aproxima da aceleração instantânea ou simplesmente aceleração da partícula.

Diz-se, lendariamente, que Newton descobriu o cálculo inspirado numa maçã caindo de uma
árvore e observando que, enquanto caía, ela se movia cada vez mais rapidamente fazendo-o pensar que além da velocidade da partícula, haveria também a aceleração envolvida.

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