Funções de Variáveis Complexas | Limite e Continuidade

Uma função f definida em S é uma regra que associa cada z do conjunto S a um número complexo w, denominado valor de f em z.

Desta forma, escrevemos $$f(z) = w,$$ onde z é denominada variável complexa, o conjunto S é o domínio da função f.

Neste contexto, queremos, nesse artigo, estabelecer conceitos de limite e continuidade inerentes ao cálculo, agora, para funções complexas.

Limite de Uma Função Complexa

Antes de definir o conceito de limite para uma função complexa, precisamos definir o conceito de discos no plano complexo.

Dados os números r>0 e z_0 um número complexo qualquer, denomina-de disco aberto com centro em z_0 = x_0 + i y_0 e raio r o conjunto D_r (z_0), de números complexos, dados por $$D_r (z_0) = \{ z; |z-z_0| < r \} = \{ x+yi; \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} < r \}.$$

O disco fechado com centro em z_0 = x_0 + i y_0 e raio r é o conjunto $$ \{ z; |z-z_0| \leq r \}$$ que é formado pelos pontos de D_r (z_0) e os pontos da fronteira $$ \{ z; |z-z_0| = r \}.$$

Seja z_0 um ponto de acumulação do domínio D de uma função f. Diz-se que f tem limite L com z tendendo a z_0 se dado qualquer \varepsilon > 0 existe \delta <0 tal que $$z \in D,\;\; 0<|z-z_0|< \delta \Rightarrow |f(z)-L|< \varepsilon .$$

Neste caso, escrevemos $$\lim_{z \rightarrow z_0}{f(z)} = L.$$

O limite de uma função f(z), se existe, é único

Propriedades dos Limites de Funções Complexas:

Sejam f e g duas funções complexas com limites finitos para z \rightarrow z_0, então

1. \lim_{z \rightarrow z_0}{[f(z)+g(z)]} = \lim_{z \rightarrow z_0}{f(z)} +\lim_{z \rightarrow z_0}{g(z)}.
2. \lim_{z \rightarrow z_0}{[f(z)g(z)]} = \lim_{z \rightarrow z_0}{f(z)}\lim_{z \rightarrow z_0}{g(z)}.
3. \lim_{z \rightarrow z_0}{\frac{f(z)}{g(z)}} = \frac{\lim_{z \rightarrow z_0}{f(z)}}{\lim_{z \rightarrow z_0}{g(z)}} se \lim_{z \rightarrow z_0}{g(z)} \neq 0
4. \lim_{z \rightarrow z_0}{\bar{f}(z)} = \bar{\lim_{z \rightarrow z_0}{f(z)}}.

EXEMPLO

$$\lim_{z \rightarrow 2i}{(z^2 + 3z)} = (2i)^2+3(2i) = 4(-1)+6i = -4+6i.$$

EXEMPLO

Usando uma técnica simples do cálculo de limite de funções reais (multiplicar pelo conjugado do denominador)  encontramos que

$$\lim_{z \rightarrow 0}{\frac{\sqrt{1+z} -1}{z}} = \frac{1}{2}$$

EXEMPLO

 $$\lim_{z \rightarrow 0}{\frac{Re(z^2)}{|z|^2}} = ?$$

Temos uma indeterminação que precisa ser solucionada.

Temos que z^2 =(x^2-y^2) + (2xy)i para todo z=x+iy. Assim, temos que $$ z \rightarrow 0 \Leftrightarrow x\rightarrow 0\;\;\;e\;\;\;y\rightarrow 0.$$ Desta forma,

$$\lim_{z \rightarrow 0}{\frac{Re(z^2)}{|z|^2}} = \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}}$$

Neste caso, podemos fazer $$\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{f(x,y)} = \lim_{x \rightarrow 0}{f(x,0)}$$ e $$\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{f(x,y)} = \lim_{y \rightarrow 0}{f(0,y)}$$ cujos limites devem ser iguais em ambos os casos.

Assim,

$$\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{\frac{x^2 – y^2}{x^2 + y^2}} = \lim_{x \rightarrow 0} {\frac{x^2}{x^2}} = 1.$$ e

$$\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{\frac{x^2 – y^2}{x^2 + y^2}} = \lim_{y \rightarrow 0} {\frac{- y^2}{ y^2}} = – 1.$$

Portanto, não existe $$\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{\frac{x^2 – y^2}{x^2 + y^2}}$$

Portanto, não existe \lim_{z \rightarrow 0}{\frac{Re(z^2)}{|z|^2}}.

Seja a função w=f(z) com domínio S.

Decompondo esta função complexa w em suas partes real e imaginária, teremos:
$$w = u(x,y) + iv(x,y)$$, sendo u=u(x,y) e v=v(x,y) funções reais, definidas no subconjunto
S, agora sendo um conjunto do plano \mathbb{R}^2.

Desse modo, uma condição necessária e suficiente para que $$\lim_{z \rightarrow z_0}{f(z)} = a + bi$$ é que $$\lim_{(x,y) \rightarrow (x_0,y_0)}{u(x,y)}=a\;\;\;e\;\;\;\lim_{(x,y) \rightarrow (x_0,y_0)}{v(x,y)}=b$$ considerando z_0 = x_0 + y_0 i.

Esta forma de decomposição é utilizada para mostrar que algumas funções complexas não possuem limite em algum ponto, isto é feito considerando que o limite quando existe é único, então se exibirmos para uma dada função dois limites diferentes quando tomamos caminhos diferentes estaremos mostrando que o limite não existe.

EXEMPLO $$\lim_{z \rightarrow 0}{\frac{|z|}{z}} = ?$$

$$\lim_{z \rightarrow 0}{\frac{|z|}{z}} = \lim_{z \rightarrow 0}{\frac{|z| \bar{z} }{z \bar{z}}} =  \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{\frac{x\sqrt{x^2+y^2} – i y \sqrt{x^2+y^2} }{x^2 + y^2}}=$$ $$= \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{\frac{x\sqrt{x^2+y^2} }{x^2 + y^2}} – i \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{\frac{y \sqrt{x^2+y^2} }{x^2 + y^2}}.$$

Como nenhum dos limites das funções $$u(x,y) = \frac{x\sqrt{x^2+y^2} }{x^2 + y^2}; \;\;\; v(x,y) = \frac{y \sqrt{x^2+y^2} }{x^2 + y^2}$$ existe, então, o limite $$\lim_{z \rightarrow 0}{\frac{|z|}{z}}$$ também não existe.

Limites Infinitos Para Funções Complexas

Assim como nas funções reais, podemos definir limites que tendem a infinito ou funções cujos limites são infinitos mesmo quando suas variável tende a uma constante complexa. Estes casos serão exemplificados abaixo.

EXEMPLO $$\lim_{z \rightarrow 4i}{\frac{5z}{2z-8i}} = ?$$

Temos que

\begin{eqnarray*}
\frac{5z}{2z-8i} & = & \frac{5z}{2(z-4i)}\\
& = & \frac{5}{2} \frac{z}{(z-4i)}\\
& = & \frac{5}{2} \frac{x+iy}{(x+iy-4i)}\\
& = & \frac{5}{2} \frac{x+iy}{(x+i(y-4))}\\
& = & \frac{5}{2} \frac{x+iy}{(x+i(y-4))} \frac{(x-i(y-4))}{(x-i(y-4))}\\
& = & \frac{5}{2} \frac{(x+iy)(x-i(y-4))}{(x^2+(y-4)^2)}\\
& = & \frac{5}{2} \frac{(x^2+y(y-4)) + (xy – x(y-4))i}{(x^2+(y-4)^2)}\\
& = & \frac{5}{2} \frac{(x^2+y(y-4))}{(x^2+(y-4)^2)} + \frac{5i}{2} \frac{(xy – x(y-4))}{(x^2+(y-4)^2)}\\
\end{eqnarray*}

Ou seja,

$$\lim_{z \rightarrow 4i}{\frac{5z}{2z-8i}} = \frac{5}{2} \lim_{(x,y) \rightarrow (0,4)} \frac{(x^2+y(y-4))}{(x^2+(y-4)^2)} + \frac{5i}{2} \lim_{(x,y) \rightarrow (0,4)} \frac{(xy – x(y-4))}{(x^2+(y-4)^2)}.$$

Fazendo x=\alpha t e y=\beta t + 4 temos que,

$$\lim_{z \rightarrow 4i}{\frac{5z}{2z-8i}} = + \infty$$

EXEMPLO $$\lim_{z \rightarrow \infty}{\frac{1}{z}} = ?$$

$$\lim_{z \rightarrow \infty}{\frac{1}{z}} = \lim_{z \rightarrow \infty}{\frac{\bar{z}}{z. \bar{z}}} = \lim_{z \rightarrow \infty}{\frac{\bar{z}}{|z|^2}}= \lim_{(x,y) \rightarrow (\infty, \infty)}{\frac{x}{x^2 + y^2}}+ i \lim_{(x,y) \rightarrow (\infty, \infty)}{\frac{y}{x^2 + y^2}}.$$

Fazendo x= \alpha t e y=\beta t, temos que $$\lim_{(x,y) \rightarrow (\infty, \infty)}{\frac{x}{x^2 + y^2}}+ i \lim_{(x,y) \rightarrow (\infty, \infty)}{\frac{y}{x^2 + y^2}} = $$ $$ = \lim_{t \rightarrow \infty}{\frac{\alpha t}{t^2(\alpha^2 + \beta^2)}}+ i \lim_{t \rightarrow \infty}{\frac{\beta t}{t^2(\alpha^2 + \beta^2)}}=0+0i=0$$

Agora, com este resultado, podemos enxergar algumas funções complexas de maneira similar a que enxergamos uma função real para o cálculo dos limites.

Vamos fazer isso no próximo exemplo:

EXEMPLO: $$\lim_{z \rightarrow \infty}{\frac{3iz +5}{2z-i}} = ?$$

$$\lim_{z \rightarrow \infty}{\frac{3iz +5}{2z-i}} = \lim_{z \rightarrow \infty}{\frac{\frac{3iz}{z} +\frac{5}{z}}{\frac{2z}{z}-\frac{i}{z}}}=\frac{3i}{2}$$

EXEMPLO

$$\lim_{z \rightarrow \infty}{\frac{z^2-i}{3z+5}} = \infty $$

Continuidade de Funções Complexas

Quando o ponto z_0 pertence ao domínio de f e L = f(z_0), dizemos que f é contínua no ponto z_0 e escrevemos $$\lim_{z \rightarrow z_0}{f(z)} = f(z_0).$$

A função f é dita contínua em um conjunto S \subset \mathbb{C} se é contínua em cada um dos pontos deste conjunto S.

EXEMPLO Considere a função $$f(x,y) = \left\{ \begin{array}{lll}
0; & z=2+i\\
\frac{z+3i}{2}; & z \neq 2+i
\end{array}
\right.
$$

Vamos verificar se f é contínua no ponto z=2-i.

Como $$lim_{z \rightarrow 2-i}{\frac{z+3i}{2}} = 1+i$$ então essa função não é contínua em z=2-i.

PROPRIEDADES DA CONTINUIDADE

Sejam f e g duas funções complexas contínuas no ponto z_0, então

1. [f(z)+g(z)] é contínua em z_0.
2. [f(z)- g(z)] é contínua em z_0.
3. [f(z)g(z)] é contínua em z_0.
4. \frac{f(z)}{g(z)} é contínua em z_0, desde que g(z_0) \neq 0.

EXEMPLO Considere f(z) = \left\{ \begin{array}{rl}|z|^2 Re(1/z); & z \neq 0\\\\0; & z=0 \\\end{array} \right.

Como $$\frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{z.\bar{z}}=\frac{\bar{z}}{x^2+y^2} = \frac{x}{x^2+y^2} -i\frac{y}{x^2+y^2},$$ então $$f(z) = f(x+iy) = (x^2+y^2) \frac{x}{x^2+y^2} = x.$$

Assim, f(z) é uma função da variável complexa a valores reais e $$\lim_{z\rightarrow 0}{f(z)} = \lim_{x\rightarrow 0}{x} = 0.$$ Portanto, $$\lim_{z\rightarrow 0}{f(z)}=f(0),$$ou seja, f é contínua no ponto z=0.

TEOREMA

 Uma função f(z) = u(x,y) + iv(x,y) é contínua num ponto z_0 = x_0 + i y_0 se, e somente se u(x,y) e v(x,y) são contínuas no ponto (x_0, y_0).

EXEMPLO Considere f(z) = \left\{ \begin{array}{rl}\frac{|z|}{z}; & z \neq 0\\\\0; & z=0 \\\end{array} \right. f é contínua no ponto z=0?

Como vimos anteriormente o limite \lim_{z \rightarrow 0}{\frac{|z|}{z}} não existe, logo a função f(z) não pode ser contínua em z=0.

Leia Mais:

• Funções de Variáveis Complexas | Uma Introdução.
• Números Complexos | Primeiras Definições e Operações Elementares
• Números Complexos | A Forma Polar e as Operações Elementares
• Números Complexos | A Exponencial de um Número Complexo

Referências Bibliográficas:

1. KREYSZIG, E. Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Song, Inc., 8th Edition, 1999.
2. ÁVILA, Geraldo S. S. Variáveis Complexas e Aplicações. 3ª Edição. Rio de Janeiro: LTC, 2000.
3. ZILL, Dennis G. “Curso Introdutório à Análise Complexa com Aplicações”. 2ª edição, LTC, Rio de Janeiro, 2011