Expansão em Meio Intervalo | Lista de Exercícios Resolvidos

Expansões em meio-intervalo são expansões em Série de Fourier. A ideia é simples e muito aplicável. Dada uma função f(x) definida num intervalo (0,L), podemos expandir essa função como uma série de senos ou uma série de cossenos, gerando uma expansão par ou ímpar de f(x), colocando-a, ainda, como uma função de período 2L. Essas séries são conhecidas como expansão de Fourier de meio intervalo da função f(x).

Lista de Exercícios sobre Expansões em Meio Intervalo

1) Desenvolva f(x) = sen(x), 0 < x < \pi , em Série de Fourier de Cossenos.

SOLUÇÃO: 

2) Desenvolva f(x) = x, 0 < x < 2 , como uma série de:

a) senos;

SOLUÇÃO: prolongamento ímpar de f(x). 

b) cossenos.

SOLUÇÃO:prolongamento par de f(x)

3) Desenvolva f(x) = x^2, 0<x<L

a) em uma série de Fourier de cossenos;

SOLUÇÃO: 

b) em uma série de Fourier de senos;

SOLUÇÃO: 

c) em um série de Fourier.

SOLUÇÃO: 

4) Considere uma corda vibrante de tamanho L=30 que satisfaz a equação diferencial $$4\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2},\;\;\;0< x <30\;\;\; ,t>0$$, com condições de contorno iguais a u(0,t) = 0 e u(30,t) = 0 para todo t e e condições iniciais dadas por
$$u(x,0) = f(x)= \left\{\begin{array}{rl}
x/10; & 0 \leq x \leq 10\\
\\
(30 – x)/20; & 10 \leq x \leq 30 \\
\\
\end{array}\right.$$ e $$\frac{\partial u}{\partial t} \left|_{t=0} = 0\right. . $$ Encontre a solução da equação das vibrações da corda elástica que satisfaça as condições de contorno e iniciais por meio de séries de Fourier.

SOLUÇÃO: equação da onda obtida neste artigo

5) Encontre a solução da equação da onda $$\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$ correspondente a uma inflexão triangular inicial dada por
$$f(x) = \left\{ \begin{array}{lll}
x & quando& 0<x<\frac{\pi}{2}
\\
\pi-x& quando & \frac{\pi}{2} < x < \pi
\end{array}
\right.$$
e velocidade inicial igual a zero.

SOLUÇÃO: equação da onda obtida neste artigo

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