Integrais Indefinidas | Exercícios Resolvidos

EXERCÍCIO: $$ \int{e^{-cos(t)} sen(t)dt}$$

Nesse caso, podemos usar uma substituição simples fazendo $$ u = -cos (t) \Rightarrow du = sen(t) dt.$$

Daí, $$ \int{e^{-cos(t)} sen(t)dt} = \int{e^{u} du} = e^{u} + c = e^{-cos(t)} + c.$$

EXERCÍCIO: $$ \int{cos(at) e^{bt}dt}$$

Faça u = cos(at) e dv = e^{bt} dt. Logo, du = -asen(at) dt e v = \dfrac{e^{bt}}{b}

Usando a integração por partes obtemos:

$$ \int{cos(at) e^{bt}dt} = \frac{e^{bt} cos(at)}{b} – \int \frac{e^{bt}}{b} (-a sen(at))dt = $$ $$= \frac{e^{bt} cos(at)}{b} + \frac{a}{b} \int e^{bt} sen(at)dt$$

Usando a integração por partes novamente, com u = sen(at), dv = e^{bt} dt, du = acos(at) dt e v = \dfrac{e^{bt}}{b}, obtemos:

$$ \int{e^{bt}cos(at)dt} = \frac{e^{bt} cos(at)}{b} + \frac{a}{b} \left[  \frac{e^{bt} sen(at)}{b}  – \frac{a}{b} \int e^{bt} cos(at)dt \right] \Leftrightarrow $$

$$ \Leftrightarrow \int{e^{bt}cos(at)dt} + \frac{a^2}{b^2} \int e^{bt} cos(at)dt =  \frac{e^{bt} cos(at)}{b} + \frac{a e^{bt} sen(at)}{b^2} \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \left[ 1+ \frac{a^2}{b^2} \right] \int e^{bt} cos(at)dt =  \frac{e^{bt} cos(at)}{b} + \frac{a e^{bt} sen(at)}{b^2} \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \int e^{bt} cos(at)dt =  \frac{b e^{bt} cos(at) +  a e^{bt} sen(at)}{a^2 + b^2} $$

Portanto, $$ \int e^{bt} cos(at)dt =  \frac{b e^{bt} cos(at) +  a e^{bt} sen(at)}{a^2 + b^2} $$

EXERCÍCIO: \int{\dfrac{1-u}{u^2-4}}du

Observe que:

Agora, vamos solucionar cada uma dessas duas integrais

Solução de I:

Logo,

Assim, \int{\dfrac{1}{(u-2)(u+2)}}du = \int{\dfrac{1/4}{u-2}}du - \int{\dfrac{1/4}{u+2}}du=\dfrac{1}{4} \ln{\left| \dfrac{u-2}{u+2} \right|}

Solução de II:

Daí,  \int{\dfrac{u}{(u-2)(u+2)}}du=\int{\dfrac{u}{u^2-4}}du= \dfrac{1}{2} \int{\dfrac{1}{v}}dv = \dfrac{1}{2}\ln{|v|}=\dfrac{1}{2}\ln{|u^2 - 4|}

Solução Geral desta  integral: