Equações Diferenciais de 2ª Ordem: 5 Exercícios Resolvidos de uma Prova de Cálculo 3

Explorar equações diferenciais ordinárias de 2ª ordem pode ser um desafio, mas resolvê-las revela a beleza matemática escondida nas soluções. Neste artigo, resolvemos equações completas, abordando soluções homogêneas e particulares, combinando termos polinomiais, exponenciais e trigonométricos, com explicações passo a passo para uma compreensão completa.

Introdução:

As equações diferenciais ordinárias de segunda ordem aparecem em diversos campos da ciência e engenharia. Neste artigo, mergulhamos na resolução de equações lineares, focando na equação homogênea associada e nas soluções particulares.

Utilizamos diferentes técnicas para lidar com termos polinomiais, exponenciais e trigonométricos no lado direito da equação. Cada passo é cuidadosamente explicado para garantir que até mesmo os conceitos mais complexos se tornem acessíveis.

Se você está procurando uma maneira de dominar a resolução dessas equações, este guia oferece uma abordagem detalhada e prática para resolver equações como y''-3y'+4y = 16t^2+24t-8+2e^{2t}+2te^{t}-e^t e y'' + 4y = 2 e^{2x}+3 cos(2,01 x) .

Exercício 1

Resolva a equação $$y”-3y’+4y = 16t^2+24t-8+2e^{2t}+2te^{t}-e^t$$

Solução: Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:

$$y” – 3y’ + 4y = 0$$

Esta equação tem equação característica da por

$$r^2 – 3r + 4 = 0$$

Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:

$$r = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 – 4(1)(4)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 – 16}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{-7}}{2} = \frac{3 \pm i\sqrt{7}}{2}$$

Portanto, as raízes são complexas e da forma r = \alpha \pm i\beta, onde \alpha = \frac{3}{2} e \beta = \frac{\sqrt{7}}{2}.

Assim, a solução geral da equação homogênea é:

$$y_h(t) = e^{\frac{3}{2}t} \left( C_1 \cos \left( \frac{\sqrt{7}}{2}t \right) + C_2 \sin \left( \frac{\sqrt{7}}{2}t \right) \right)$$

Agora, encontramos a solução particular da equação completa. O lado direito da equação é composto por três termos diferentes: um polinômio, um termo exponencial e um termo exponencial com multiplicação por t. A solução particular é a soma das soluções para cada um desses termos.

1) Solução particular para os termos polinomiais 16t^2 + 24t - 8:

Procuramos uma solução particular da forma y_{p_1}(t) = At^2 + Bt + C, onde A, B, e C são constantes a serem determinadas. Calculamos as derivadas de y_{p_1}(t):

$$y_{p_1}'(t) = 2At + B$$
$$y_{p_1}”(t) = 2A$$

Substituímos na equação original y'' - 3y' + 4y = 16t^2 + 24t - 8:

$$2A – 3(2At + B) + 4(At^2 + Bt + C) = 16t^2 + 24t – 8$$

Expandindo e organizando:

$$2A – 6At – 3B + 4At^2 + 4Bt + 4C = 16t^2 + 24t – 8$$

Agora, agrupamos os termos semelhantes:

– Para t^2: 4A = 16, logo A = 4
– Para t: -6A + 4B = 24, logo -24 + 4B = 24 \Rightarrow B = 12
– Termo constante: 2A - 3B + 4C = -8, logo 8 - 36 + 4C = -8 \Rightarrow 4C = 20 \Rightarrow C = 5

Portanto, a solução particular para os termos polinomiais é:

$$y_{p_1}(t) = 4t^2 + 12t + 5$$

2) Solução particular para o termo exponencial 2e^{2t}:

Procuramos uma solução particular da forma y_{p_2}(t) = Ae^{2t}. Calculamos as derivadas:

$$y_{p_2}'(t) = 2Ae^{2t}$$
$$y_{p_2}”(t) = 4Ae^{2t}$$

Substituímos na equação original y'' - 3y' + 4y = 2e^{2t}:

$$4Ae^{2t} – 3(2Ae^{2t}) + 4(Ae^{2t}) = 2e^{2t}$$

Simplificando:

$$4A – 6A + 4A = 2 \Rightarrow 2A = 2 \Rightarrow A = 1$$

Portanto, a solução particular para o termo exponencial é:

$$y_{p_2}(t) = e^{2t}$$

3) Solução particular para os termos 2te^t - e^t:

Procuramos uma solução particular da forma y_{p_3}(t) = (At + B)e^t. Calculamos as derivadas:

$$y_{p_3}'(t) = (A(t+1) + B)e^t$$
$$y_{p_3}”(t) = (A(t+2) + B)e^t$$

Substituímos na equação original y'' - 3y' + 4y = 2te^t - e^t:

$$(A(t+2) + B)e^t – 3(A(t+1) + B)e^t + 4(At + B)e^t = (2t – 1)e^t$$

Simplificando:

$$(A(t+2) + B – 3A(t+1) – 3B + 4At + 4B)e^t = (2t – 1)e^t$$

Agrupando os termos semelhantes:

– Para t: A - 3A + 4A = 2 \Rightarrow 2A = 2 \Rightarrow A = 1
– Termo constante: 2A + B - 3A - 3B + 4B = -1 \Rightarrow 2 + B - 3 - 3B + 4B = -1 \Rightarrow B = 0

Portanto, a solução particular para os termos 2te^t - e^t é:

$$y_{p_3}(t) = te^t$$

4) Solução particular completa:

Somando as soluções particulares:

$$y_p(t) = y_{p_1}(t) + y_{p_2}(t) + y_{p_3}(t)$$
$$y_p(t) = (4t^2 + 12t + 5) + e^{2t} + te^t$$

5) Solução geral:

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

$$y(t) = y_h(t) + y_p(t)$$

Substituindo as expressões:

$$y(t) = e^{\frac{3}{2}t} \left( C_1 \cos \left( \frac{\sqrt{7}}{2}t \right) + C_2 \sin \left( \frac{\sqrt{7}}{2}t \right) \right) + (4t^2 + 12t + 5) + e^{2t} + te^t$$

Exercício 2

Resolva a equação $$y”+16y = f(t)$$ onde f(t) = cos(4t), se 0 \leq t < \pi , e f(t) = 0 se t \geq \pi .

SOLUÇÃO: Dada a equação diferencial $$ y” + 16y = f(t) $$, onde:

$$ f(t) =
\begin{cases}
\cos(4t), & 0 \leq t < \pi \\
0, & t \geq \pi
\end{cases}
$$

primeiro, encontramos a solução geral da equação homogênea associada $$ y” + 16y = 0 $$ Sua equação característica é dada por:

$$ r^2 + 16 = 0 $$

Resolvendo, encontramos r = \pm 4i, que são raízes puramente imaginárias. A solução geral da equação homogênea é, então:

$$ y_h(t) = C_1 \cos(4t) + C_2 \sin(4t) $$

Agora, para o intervalo 0 \leq t < \pi, a equação completa é:

$$ y” + 16y = \cos(4t) $$

Como a função forçada \cos(4t) tem a mesma frequência angular que a solução homogênea, procuramos uma solução particular da forma y_p(t) = At \cos(4t) + Bt \sin(4t).

Calculamos as derivadas de y_p(t):

$$ y_p'(t) = A \cos(4t) – 4At \sin(4t) + B \sin(4t) + 4Bt \cos(4t) $$

$$ y_p”(t) = -8A \sin(4t) – 4A \sin(4t) – 16At \cos(4t) + 8B \cos(4t) + 4B \cos(4t) – 16Bt \sin(4t) $$

Substituímos essas expressões na equação diferencial completa:

$$ (-8A – 16At) \sin(4t) + (8B – 16Bt) \cos(4t) + 16 (At \cos(4t) + Bt \sin(4t)) = \cos(4t) $$

Agrupamos os termos semelhantes para \cos(4t) e \sin(4t):

Para \sin(4t):

$$ -8A + 16B = 0 $$

Para \cos(4t):

$$ 8B = 1 $$

Resolvendo, obtemos B = \frac{1}{8} e, substituindo em -8A + 16B = 0, encontramos A = \frac{1}{4}.

Assim, a solução particular é:

$$ y_p(t) = \frac{1}{4}t \cos(4t) + \frac{1}{8}t \sin(4t) $$

A solução geral da equação completa para 0 \leq t < \pi é:

$$ y(t) = C_1 \cos(4t) + C_2 \sin(4t) + \frac{1}{4}t \cos(4t) + \frac{1}{8}t \sin(4t) $$

Agora, para t \geq \pi, temos que f(t) = 0, ou seja, a equação é homogênea:

$$ y” + 16y = 0 $$

Portanto, a solução para t \geq \pi é a mesma solução homogênea:

$$ y(t) = C_3 \cos(4t) + C_4 \sin(4t) $$

Juntando tudo, a solução geral da equação diferencial pode ser escrita como uma função definida por várias sentenças:

$$
y(t) =
\begin{cases}
C_1 \cos(4t) + C_2 \sin(4t) + \frac{1}{4}t \cos(4t) + \frac{1}{8}t \sin(4t), & 0 \leq t < \pi \\
C_3 \cos(4t) + C_4 \sin(4t), & t \geq \pi
\end{cases}
$$

Exercício 3

Resolva a equação $$ y” + (1,00001)y’+y = e^x$$

Primeiro, encontramos a solução da equação homogênea associada:

$$ y” + 1.00001y’ + y = 0 $$

Sua equação característica:

$$ r^2 + 1.00001r + 1 = 0 $$

Agora, aplicamos a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:

$$ r = \frac{-1.00001 \pm \sqrt{(1.00001)^2 – 4(1)(1)}}{2(1)} $$

Simplificando:

$$ r = \frac{-1.00001 \pm \sqrt{1.0000200001 – 4}}{2} = \frac{-1.00001 \pm \sqrt{-2.9999799999}}{2} $$

Como \sqrt{-2.9999799999} é uma raiz complexa, podemos escrevê-la como:

$$ r = \frac{-1.00001}{2} \pm i \frac{\sqrt{2.9999799999}}{2} $$

As raízes são complexas, e portanto a solução homogênea é da forma:

$$ y_h(x) = e^{\frac{-1.00001}{2}x} \left( C_1 \cos\left(\frac{\sqrt{2.9999799999}}{2}x\right) + C_2 \sin\left(\frac{\sqrt{2.9999799999}}{2}x\right) \right) $$

Agora, resolvemos a equação completa. Sabemos que o lado direito da equação é e^x, então propomos uma solução particular da forma y_p(x) = A e^x, onde A é uma constante a ser determinada. Calculamos as derivadas de y_p(x):

$$ y_p'(x) = A e^x $$
$$ y_p”(x) = A e^x $$

Substituímos na equação original:

$$ A e^x + 1.00001 A e^x + A e^x = e^x $$

Fatorando o lado esquerdo:

$$ A(1 + 1.00001 + 1) e^x = e^x $$

Simplificamos para obter:

$$ A(3.00001) e^x = e^x $$

Dividindo ambos os lados por e^x:

$$ A(3.00001) = 1 $$

Logo, a constante A é:

$$ A = \frac{1}{3.00001} $$

Portanto, a solução particular é:

$$ y_p(x) = \frac{1}{3.00001} e^x $$

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea y_h(x) e da solução particular y_p(x):

$$ y(x) = y_h(x) + y_p(x) $$

Substituindo as expressões encontradas:

$$ y(x) = e^{\frac{-1.00001}{2}x} \left( C_1 \cos\left(\frac{\sqrt{2.9999799999}}{2}x\right) + C_2 \sin\left(\frac{\sqrt{2.9999799999}}{2}x\right) \right) + \frac{1}{3.00001} e^x $$

Essa é a solução completa da equação diferencial.

Exercício 4

Resolva a equação diferencial $$y” + 4y = 2 e^{2x}+3 cos(2,01 x)$$

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:

$$ y” + 4y = 0 $$

Sua equação característica:

$$ r^2 + 4 = 0 $$

As raízes dessa equação são:

$$ r = \pm 2i $$

Portanto, a solução geral da equação homogênea é:

$$ y_h(x) = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) $$

Agora, resolvemos a equação completa, que inclui dois termos no lado direito: 2 e^{2x} e 3 \cos(2.01x). A solução particular será a soma das soluções particulares de cada um desses termos.

1. Solução particular para 2 e^{2x}:

Procuramos uma solução particular da forma y_{p_1}(x) = A e^{2x}, onde A é uma constante. Calculamos as derivadas:

$$ y_{p_1}'(x) = 2A e^{2x} $$
$$ y_{p_1}”(x) = 4A e^{2x} $$

Substituímos essas expressões na equação diferencial:

$$ 4A e^{2x} + 4(A e^{2x}) = 2 e^{2x} $$

Simplificando:

$$ 8A e^{2x} = 2 e^{2x} $$

Cancelamos e^{2x} de ambos os lados:

$$ 8A = 2 \quad \Rightarrow \quad A = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} $$

Portanto, a solução particular para o termo 2 e^{2x} é:

$$ y_{p_1}(x) = \frac{1}{4} e^{2x} $$

2. Solução particular para 3 \cos(2.01x):

Procuramos uma solução particular da forma:

$$ y_{p_2}(x) = A \cos(2.01x) + B \sin(2.01x) $$

Calculamos as derivadas:

$$ y_{p_2}'(x) = -2.01 A \sin(2.01x) + 2.01 B \cos(2.01x) $$

$$ y_{p_2}”(x) = -4.0201 A \cos(2.01x) – 4.0201 B \sin(2.01x) $$

Substituímos essas expressões na equação y'' + 4y = 3 \cos(2.01x):

$$ (-4.0201 A \cos(2.01x) – 4.0201 B \sin(2.01x)) + 4(A \cos(2.01x) + B \sin(2.01x)) = 3 \cos(2.01x) $$

Agrupamos os termos:

$$ (-4.0201 A + 4 A)\cos(2.01x) + (-4.0201 B + 4 B)\sin(2.01x) = 3 \cos(2.01x) $$

Agora, igualamos os coeficientes de \cos(2.01x) e \sin(2.01x):

– Para \cos(2.01x): -4.0201 A + 4A = 3
– Para \sin(2.01x): -4.0201 B + 4B = 0

Resolvendo essas equações:

1. -4.0201 A + 4A = 3 \quad \Rightarrow \quad -0.0201 A = 3 \quad \Rightarrow \quad A = \frac{3}{-0.0201} = -\frac{300}{2.01}

2. -4.0201 B + 4B = 0 \quad \Rightarrow \quad -0.0201 B = 0 \quad \Rightarrow \quad B = 0

Portanto, a solução particular para o termo 3 \cos(2.01x) é:

$$ y_{p_2}(x) = -\frac{300}{2.01} \cos(2.01x) $$

A solução particular completa é a soma das duas soluções particulares:

$$ y_p(x) = \frac{1}{4} e^{2x} – \frac{300}{2.01} \cos(2.01x) $$

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

$$ y(x) = y_h(x) + y_p(x) $$

Substituímos as expressões encontradas:

$$ y(x) = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) + \frac{1}{4} e^{2x} – \frac{300}{2.01} \cos(2.01x) $$

Essa é a solução completa da equação diferencial.

Exercício 5

Resolva a equação diferencial $$ y”+y = t(1+sen(t) ) $$

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:

$$ y” + y = 0 $$

Sua equação característica:

$$ r^2 + 1 = 0 $$

As raízes dessa equação são r = \pm i. Assim, a solução geral da equação homogênea é dada por:

$$ y_h(t) = C_1 \cos(t) + C_2 \sin(t) $$

Agora, resolvemos a equação completa y'' + y = t(1 + \sin(t)). Como o lado direito contém dois termos, t e t \sin(t), buscamos a solução particular para cada um desses termos e somamos os resultados.

1. Solução particular para t:

Procuramos uma solução particular da forma y_{p_1}(t) = At + B, onde A e B são constantes a serem determinadas. Calculamos as derivadas:

$$ y_{p_1}'(t) = A $$

$$ y_{p_1}”(t) = 0 $$

Substituímos na equação y'' + y = t:

$$ 0 + (At + B) = t $$

Isso nos dá:

$$ At + B = t $$

Comparando os coeficientes, obtemos:

– A = 1
– B = 0

Portanto, a solução particular para o termo t é:

$$ y_{p_1}(t) = t $$

2. Solução particular para t \sin(t):

Procuramos uma solução particular da forma:

$$ y_{p_2}(t) = t(A \cos(t) + B \sin(t)) $$

Calculamos as derivadas:

$$ y_{p_2}'(t) = A \cos(t) – A t \sin(t) + B \sin(t) + B t \cos(t) $$

$$ y_{p_2}”(t) = -2A \sin(t) – A t \cos(t) + 2B \cos(t) – B t \sin(t) $$

Substituímos na equação y'' + y = t \sin(t):

$$ (-2A \sin(t) – A t \cos(t) + 2B \cos(t) – B t \sin(t)) + t(A \cos(t) + B \sin(t)) = t \sin(t) $$

Simplificando, temos:

$$ (-2A \sin(t) + 2B \cos(t)) = t \sin(t) $$

Comparando os coeficientes de \sin(t) e \cos(t):

– Para \sin(t): -2A = 1, logo A = -\frac{1}{2}
– Para \cos(t): 2B = 0, logo B = 0

Portanto, a solução particular para o termo t \sin(t) é:

$$ y_{p_2}(t) = -\frac{1}{2} t \cos(t) $$

Somando as duas soluções particulares, temos:

$$ y_p(t) = t – \frac{1}{2} t \cos(t) $$

A solução geral da equação é a soma da solução homogênea e da solução particular:

$$ y(t) = y_h(t) + y_p(t) $$

Substituímos as expressões encontradas:

$$ y(t) = C_1 \cos(t) + C_2 \sin(t) + t – \frac{1}{2} t \cos(t) $$

Essa é a solução completa da equação diferencial.

Conclusão

Dominar a resolução de equações diferenciais ordinárias lineares de segunda ordem é um passo essencial para aprofundar o conhecimento em matemática aplicada. Neste artigo, apresentamos uma abordagem detalhada, focando na equação homogênea associada e na soma de soluções particulares.

A solução para cada termo, seja polinomial, exponencial ou trigonométrico, é cuidadosamente trabalhada para garantir que o leitor entenda o processo. Agora que você tem as ferramentas necessárias para resolver equações deste tipo, pode aplicá-las em diversos problemas científicos e matemáticos.

Continue praticando para consolidar o que aprendeu!

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