Equações de Navier-Stokes: Uma visão geral da sua complexidade

As equações de Navier-Stokes formam um conceito matemático importante em dinâmica de fluidos. Entenda sua complexidade com esta visão geral abrangente.

As equações de Navier Stokes são uma ferramenta chave para entender a dinâmica dos fluidos. Ela descreve o movimento de um fluido viscoso e incompressível em termos de velocidade e pressão e tem sido o foco de muitas pesquisas de cientistas devido à sua complexidade e ampla gama de aplicações.

Elas foram denominadas assim após Claude-Louis Navier e George Gabriel Stokes desenvolverem um conjunto de equações que descreveriam o movimento das substâncias fluidas tais como líquidos e gases.

Assista nosso vídeo apresentando as Equações de Navier-Stokes

O que são, de fato, as Equações de Navier Stokes?

As equações de Navier-Stokes são equações diferenciais parciais não lineares de segunda ordem derivadas da segunda lei do movimento de Newton e suas soluções foram encontradas em uma variedade de problemas interessantes de fluxo viscoso.

Ou seja, é a equação fundamental que governa o comportamento de fluidos viscosos e incompressíveis e forma a base da hidrodinâmica clássica. Consiste em três partes: a equação do momento para o momento linear (inercial), a equação da continuidade para a conservação de massa e uma equação de energia ou balanço de energia térmica.

Como a simulação e a modelagem nos ajudam a explorar as Equações de Navier-Stokes?

Simulações numéricas e modelagem são ferramentas críticas usadas para entender e explorar a complexidade da equação de Navier-Stokes. Métodos numéricos como diferença finita, volume finito e métodos espectrais podem ser usados para converter as Equações de Navier-Stokes em uma forma adequada para algoritmos de computador.

Esses algoritmos podem então ser implementados para resolver problemas envolvendo geometria 3D complexa ou propriedades de materiais altamente não lineares. Além disso, simulações e modelos nos permitem explorar facilmente uma variedade de cenários com rapidez e precisão.

Quais são algumas das aplicações das equações de Navier-Stokes?

As equações de Navier Stokes são um conjunto de equações diferenciais que descrevem o comportamento de objetos no meio de escoamento de fluidos e são conhecidas desde o século XIX. Até por isso elas são usadas para estudar uma variedade de fluxos de fluidos complexos.

Suas aplicações vão desde engenharia aeronáutica e engenharia automotiva até microfluídica, engenharia química e muito mais. Além disso, a equação de Navier-Stokes pode ajudar os engenheiros a projetar aeronaves, carros, navios, turbinas eólicas e outras máquinas melhores e mais seguras que envolvam o movimento de fluidos. Também pode fornecer informações sobre como os fluidos interagem uns com os outros, bem como com seu ambiente, como quando um rio deságua no oceano ou serpenteia em torno de uma cordilheira.

Ou seja, as equações de Navier-Stokes, em suas formas completas e simplificadas, ajudam no design de aeronaves e carros, no estudo do fluxo sanguíneo, no design de reatores nucleares e em muitas outras coisas como modelar o clima, as correntes oceânicas, o fluxo de ar em torno de um aerofólio e o fluxo de água em um tubo ou em um reator.

Um Problema de Um Milhão de Dólares

Costuma-se dizer que a solução geral das equações de Navier-Stokes com turbulências é o “último problema não resolvido da física matemática clássica”. Não à toa sua solução é um dos sete problemas maiores da matemática contemporânea e que foram apresentados pelo Clay Institute, sendo oferecidos um milhão de dólares para cada solução encontrada.

As Equações de Navier-Stokes vão permitir, assim que solucionadas, determinar o comportamento de qualquer fluído e ajudar a evitar acidentes diversos, bem como permitir inovações tenológicas no setor do transporte aeroespacial. O problema não está em achar as resposta, mas em saber se essas equações sempre têm alguma resposta que possa ser interpretada de modo razoável na realidade física e se as respostas que conhecemos são únicas.

Hoje em dia usa-se artifícios de aproximação numérica ou até mesmo técnicas de algoritmos genéticos para buscar soluções de problemas específicos com uma margem de erro aceitável, pois ainda não foi provado que em três dimensões sempre existem soluções destas equações ou que, se existem, são suaves.

O último matemático a se dedicar na busca dessa solução foi Mukhtarbay Otelbaev, um matemático do Cazaquistão que estudou na Universidade de Moscou e trabalha com equações diferenciais parciais e análise funcional. Sua solução analítica para as equações de Navier-Stokes foi apresentada em 2013, mas o juri detectou um erro na sua resposta.

A Dedução Matemática das Equações de Navier-Stokes

As equações fundamentais da Dinâmica dos Fluidos são baseadas nas leis universais de conservação:

1. Conservação de massa (continuidade);
2. Conservação da quantidade de movimento linear – momentum – (Segunda Lei de Newton);
3. Conservação de Energia (Primeira Lei da Termodinâmica).

Além das equações estabelecidas por estas leis de conservação, devemos estabelecer relações entre as propriedades do fluido.

Historicamente, hove duas abordagens para deduzir as equações da mecânica dos fluidos: abordagem ”Fenomenológica” e abordagem da Teoria Cinemática. Na primeira abordagem certas relações entre propriedades do fluido são postuladas e as equações da dinâmica do fluido são desenvolvidas pelas leis de conservação.

Na abordagem da teoria cinemática (também chamada de teoria matemática), as equações do fluido são obtidas com os coeficientes de transporte definidos em termo de certas relações integrais que envolvem dinâmicas de colisão entre partículas. A dedução das equações utilizando a abordagem fenomenológica de dinâmica dos fluidos pode ser encontrada na nossa primeira referência bibliográfica no final deste artigo.

As Equações de Navier-Stokes

A segunda lei de Newton expressa a proporcionalidade entre a força aplicada e a aceleração
resultante de uma partícula de massa m . Matematicamente, $$ F=m.a \qquad (1) $$ Se o sistema é uma partícula de fluido, é conveniente dividir a equação (1) pelo volume da partícula, para que possamos trabalhar coma densidade ao invés da massa.

Também é tradicional reverter os termos e colocar a aceleração no lado esquerdo da equação. Portanto, $$ \rho \underbrace{\frac{D V}{Dt}}_{aceleracao} = f = f_{corpo} +
f_{superficie} \qquad (2)$$onde f é a força aplicada por unidade de volume na partícula de fluido e \rho é a densidade do fluido.

Dividimos, então, f em dois tipos:

• forças de corpos: que iremos considerar como $$ f_{corpo} =\rho g \qquad (2.1) $$
  onde g é o vetor aceleração da gravidade.
• forças de superfície: são quelas forças aplicadas ao elemento externamente como, por exemplo, o tensor quantidade de “stress” $$ \tau_{ij}= \left( \begin{array}{ccc} \tau_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \tau_{yy} & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \tau_{zz} \\ \end{array} \right). \qquad (3)$$ que é simétrico.

A posição de cada \tau‘s na matriz (3) não é arbitraria, cada coluna corresponde a força aplicada na direção de cada coordenada. Desta forma, a força total
em cada direção em função do ”stress” é dado por $$ \begin{array}{ccc} dF_x & = & \tau_{xx}dydz+ \tau_{yx}dxdz +\tau_{zx}dxdy \\ dF_y & = &\tau_{xy}dydz+ \tau_{yy}dxdz +\tau_{zx}dzdy \\ dF_z & = & \tau_{xz}dydz+ \tau_{yz}dxdz +\tau_{zz}dxdy \\ \end{array} \qquad (4) $$ e dividindo, em uma unidade de volume, por dxdydz, desde que
\tau_{ij}=\tau_{ji}, temos $$ \begin{array}{c} f_x =\frac{\partial \tau_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{xz}}{\partial z} \\ f_y =\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{yy}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{zy}}{\partial z} \\ f_z =\frac{\partial \tau_{xz}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{yz}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{zz}}{\partial z} \\ \end{array} \qquad(5)$$ o que é equivalente a considerar o divergente de cada coluna de \tau _{ij}.

Portanto, $$ f_{superficie}=\nabla \cdot \tau_{ij} \qquad (6)$$ e assim, a equação (2) fica
$$ \rho \frac{DV}{Dt} = \rho.g+\nabla \cdot \tau_{ij} \qquad (7). $$

Stokes fazendo analogia com a elasticidade hookiana postulou três leis de deformação para todos os gases e a fluidos mais comuns:

1. O fluido é contínuo e \tau_{ij} é uma função quase linear da taxa de deformação \epsilon_{ij};
2. O fluido é isotrópico, ou seja, suas propriedades independem da direção e, por consequência, a lei de deformação independe das coordenadas nas quais são expressas;
3. Quando a taxa de deformação é 0, a lei de deformação pode ser reduzida para a condição de pressão hidrostática, \tau_{ij}=-p \delta_{ij}, sendo \delta_{ij} a função delta de Kronecker (\delta_{ij}=1, se i=j e \delta_{ij}=0, se i\neq j).

A partir destes três postulados obtemos a lei de deformação generalizada para um fluido newtoniano $$ \tau_{ij}=-p\delta_{ij}+\mu \left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_j}\right)+\delta_{ij} \lambda div V \qquad (8) $$ onde p é a pressão, \mu é a viscosidade, u_i é a componente cartesiana da velocidade, \lambda é o coeficiente de viscosidade bulk e divV é o divergente do vetor velocidade.

Agora substituindo (8) em (7), obtemos a famosa equação de Navier-Stokes $$ \rho \frac{DV}{Dt}=\rho g – \nabla p+ \frac{\partial}{\partial x_j}\left[\mu \left(\frac{\partial v_i}{\partial x_j}+\frac{\partial v_j}{\partial x_i}\right)+\delta_{ij} \lambda div V\right] \qquad (9) .$$

Por outro lado, temos que $$\frac{DV}{Dt}=\left[\frac{\partial V}{\partial t}+\left(V\cdot \nabla \right) V \right]$$ Quando o fluido possui densidade constante, div V se anula, ou seja, temos um fluido incompressível. Se assumirmos que \mu é constante obtemos uma equação de Navier-Stokes mais simples para viscosidade constante: $$ \rho \left[\frac{\partial V}{\partial t}+\left(V\cdot \nabla \right) V \right]=\rho g – \nabla p+ \mu \nabla ^2 V \qquad (10) $$

Por outro lado, podemos mostrar que $$\rho \frac{D V}{Dt}= \nabla \cdot \tau_{ij}$$ que é a lei de Newton escrita na forma $$ \rho \underbrace{\frac{D V}{Dt}}_{aceleracao} = \tau_{pressao} + \tau_{viscosidade} \qquad (11) $$ quando a força é causada pelo gradiente do “stress”‘. Temos ainda que \tau_{pressao} = -p I, sendo I a matriz identidade. Logo, \nabla \cdot \tau_{pressao} = -\nabla p. A representação de \tau_{viscosidade} é menos óbvia, mas pode se mostrar (como podemos ver no segundo item da nossa bibliografia no fim do artigo) que \nabla \cdot \tau_{viscosidade} = \mu \nabla ^2 V.

Portanto a equação de Navier-Stokes para um fluido incompressível assume a forma $$ \rho \left[\frac{\partial V}{\partial t}+\left(V\cdot \nabla \right) V \right]= – \nabla p+ \mu \nabla ^2 V \qquad (12) $$

Um método computacional usado nas aplicações das Equações de Navier-Stokes

1. Divida o domínio da equação (12) em N partes iguais em ambas as direções criando uma malha computacional Euleriana regular fixa.
2. Nesta malha determinaremos a velocidade e a pressão nos nós.
3. A fronteira imersa é discretizada empregando uma malha computacional Lagrangiana, uma coleção finita de pontos móveis.
4. Definimos o passo de integração no tempo.
5. Utilizamos os operadores diferenças finitas para aproximar as primeiras derivadas.
6. discretizamos os operadores diferenciais divergente e gradiente laplaciano

Com isto desacoplamos as equações em cada uma das direções dos eixos coordenados, sendo de segunda ordem no espaço e de primeira ordem no tempo. Na determinação de (u,X) em cada instante no tempo, o método emprega a configuração geométrica da fronteira imersa no inicio do passo, para calcular a força elástica F, a qual modela o problema em questão.

Em seguida, esta força elástica é espalhada aos pontos da malha computacional do fluido próximos a fronteira, determinando um campo de velocidades provisório u . A ação da força elástica é notada instantaneamente em todo o domínio por intermédio do campo de pressão. Impondo a incompressibilidade do fluido obtemos a equação de Poisson para qual as condições de contorno são utilizadas.

Uma vez calculada a pressão p, determina-se a seguir a velocidade u. Finalmente, a nova velocidade é então empregada para mover a fronteira imersa completando o passo.

Referências Bibliográficas:

1. SCHILICHTING, H. Boundary-Layer Theory, 6th ed., McGraw-Hill, New York;
2. DURBIN, Paul A. e MEDIC, Gorazd, Fluid Dynamics with a Computational Perspective, Cambridge University Press.
3. WHITE, Frank M., Viscous Fluid Flow, Second Edition, Mcgraw Hill.

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