EDO’s de 1ª Ordem Exatas | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos

Neste artigo queremos apresentar uma quarta lista de exercícios resolvidos sobre EDO’s de primeira ordem exatas. Uma equação diferencial da forma $$M(x,y) dx+N(x,y)dy=0$$ é chamada de equação exata se a expressão do lado esquerdo é uma diferencial exata. Pode-se mostrar que a equação M(t,y)+N(t,y)y'=0, é uma EDO exata em R se, e somente se, M_y (t,y)=N_t (t,y) em cada ponto de R.

Se a EDO é exata, então podemos afirmar que existe uma função \psi tal que \psi (t,y) = c é uma solução implícita desta EDO exata e \dfrac{\partial \psi}{ \partial t}(t,y)=M(t,y),\;\;\;\dfrac{ \partial \psi}{ \partial y}(t,y)=N(t,y) se, e só se, M_y (t,y)=N_t (t,y).

Algumas vezes é possível transformar uma EDO não-exata em uma EDO exata multiplicando a equação por um fator integrante apropriado. Para que este fator integrante \mu (t) exista para uma EDO não-exata na forma M(t,y)+N(t,y)y'=0, é necessário que \dfrac{d\mu}{dt}=\dfrac{M_y - N_t}{N} \mu. Se \dfrac{M_y - N_t}{N} depende apenas de t, então existe um fator integrante \mu que depende apenas de t. Analogamente, se \dfrac{N_t - M_y}{M} depende apenas de y, então existe um fator integrante \mu que depende apenas de y.

EDO’s de 1ª Ordem Exatas | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos

1) Resolva as EDOs de 1ª ordem abaixo:

a) (t-y)(dt-dy)=0$$

Podemos encontrar a mesma solução observando que essa EDO é também separável: $$(t-y)(dt-dy)= (y-t)dy + (t-y)dt.$$ onde M(t,y) = (y-t) e N(t,y) = (t-y), o que nos dá $$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial t} = 1.$$

Desta forma, temos uma função \Psi (t,y) tal que \Psi (t,y) = c é solução da EDO (t-y)(dt-dy)=0, e $$\frac{\partial \Psi}{\partial y}= N\;\;\;e\;\;\;\frac{\partial \Psi}{\partial t} = M.$$

Logo, usando o mesmo raciocínio para solucionar EDOs exatas, encontramos $$\Psi (t,y) = \frac{t^2}{2}-yt+\frac{y^2}{2}, $$ ou seja, a solução da EDO é dada por $$\frac{t^2}{2}-yt+\frac{y^2}{2} = k \Rightarrow$$ $$\Rightarrow t^2 – 2yt + y^2 = 2k \Rightarrow$$ $$\Rightarrow (t-y)^2 = 2k \Rightarrow t-y = \sqrt{2k} \Rightarrow $$ $$\Rightarrow y(t) = t-\sqrt{2k}.$$ Como -\sqrt{2k} é uma constante escrevemos -\sqrt{2k}= c. Portanto, $$y(t) = t+c.$$

b) (2x^2 + y)dx + (x^2 y -x) dy = 0

SOLUÇÃO: Uma inspeção rápida mostra que a essa EDO não é separável nem linear. Também observamos facilmente que ela não é exata. De fato, \dfrac{\partial M}{\partial y} = 1 \neq (2xy-1) = \dfrac{\partial N}{\partial x} .

Porém, podemos encontrar usando os métodos usuais um fator integrante que depende apenas de x e dado por \mu = \dfrac{1}{x^2} . Multiplicando na equação encontramos uma nova EDO exata dada por $$(2 + yx^{-2})dx + (y – x^{-1})dy = 0$$ e solucionando-a pelo método da EDO exata $$2x – yx^{-1} + \frac{x^2}{2} = c.$$

c) (2x^2 +y)dx + (x^2y - x)dy = 0

Esta EDO não é exata. De fato, \dfrac{\partial M}{\partial y} = 1 \neq 2xy -1 = \dfrac{\partial N}{\partial x} . Observe que $$ \frac{M_y – N_x}{N} = \frac{1 – (2xy -1) }{ x^2y \; – \; x} = \frac{2(1 – xy) }{ -x (1 -xy)} = \frac{-2 }{ x}.$$

Obtemos uma função de apenas x, de modo que um fator integrante para a EDO é dado por $$ \mu (x) = e^{\int{(-2/x)dx}} = x^{-2} .$$

Quando multiplicamos a equação por \mu = x^{-2} , obtemos a equação exata $$ (2 + y x^{-2})dx + (y – x^{-1})dy = 0.$$

Solucionando esta equação como nos exercícios anteriores, encontramos a solução implícita $$2x – yx^{-1} + \frac{y^2}{2} = c .$$

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