EDO’s de 1ª Ordem Exatas | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos

Neste artigo queremos apresentar uma terceira lista de exercícios resolvidos sobre EDO’s de primeira ordem exatas. Uma equação diferencial da forma $$M(x,y) dx+N(x,y)dy=0$$ é chamada de equação exata se a expressão do lado esquerdo é uma diferencial exata. Pode-se mostrar que a equação M(t,y)+N(t,y)y'=0, é uma EDO exata em R se, e somente se, M_y (t,y)=N_t (t,y) em cada ponto de R.

Se a EDO é exata, então podemos afirmar que existe uma função \psi tal que \psi (t,y) = c é uma solução implícita desta EDO exata e \dfrac{\partial \psi}{ \partial t}(t,y)=M(t,y),\;\;\;\dfrac{ \partial \psi}{ \partial y}(t,y)=N(t,y) se, e só se, M_y (t,y)=N_t (t,y).

Algumas vezes é possível transformar uma EDO não-exata em uma EDO exata multiplicando a equação por um fator integrante apropriado. Para que este fator integrante \mu (t) exista para uma EDO não-exata na forma M(t,y)+N(t,y)y'=0, é necessário que \dfrac{d\mu}{dt}=\dfrac{M_y - N_t}{N} \mu. Se \dfrac{M_y - N_t}{N} depende apenas de t, então existe um fator integrante \mu que depende apenas de t. Analogamente, se \dfrac{N_t - M_y}{M} depende apenas de y, então existe um fator integrante \mu que depende apenas de y.

EDO’s de 1ª Ordem Exatas | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos

1) Resolva as EDOs de 1ª ordem abaixo:

a) \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{5y - 2x}{-5x + 3y^2}

SOLUÇÃO: 

b) x^2 y^3 dx + x^3 y^2 dy = 0

SOLUÇÃO: 

c) (-3t + y + 6) + (t + y +2) y' = 0

SOLUÇÃO: 

2) Resolva o PVI $$(cos(x)sen(x) – xy^2) dx + y(1-x^2)dy = 0, \;\;\;\; y(0)=2.  $$

SOLUÇÃO: 

3) Dada a EDO de primeira ordem (\sin{(xy)} + xy \cos{(xy)})dx+(1 + x^2\cos{(xy)})dy = 0, encontre sua solução geral.

SOLUÇÃO: 

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