EDO’s de 1ª Ordem Exatas | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

Pode-se mostrar que a equação M(t,y)+N(t,y)y'=0, é uma EDO exata em R se, e somente se, M_y (t,y)=N_t (t,y) em cada ponto de R. Se a EDO é exata, então podemos afirmar que existe uma função \psi tal que \psi (t,y) = c é uma solução implícita desta EDO exata e \dfrac{\partial \psi}{ \partial t}(t,y)=M(t,y),\;\;\;\dfrac{ \partial \psi}{ \partial y}(t,y)=N(t,y) se, e só se, M_y (t,y)=N_t (t,y).

Algumas vezes é possível transformar uma EDO não-exata em uma EDO exata multiplicando a equação por um fator integrante apropriado. Para que este fator integrante \mu (t) exista para uma EDO não-exata na forma M(t,y)+N(t,y)y'=0, é necessário que \dfrac{d\mu}{dt}=\dfrac{M_y - N_t}{N} \mu. Se \dfrac{M_y - N_t}{N} depende apenas de t, então existe um fator integrante \mu que depende apenas de t. Analogamente, se \dfrac{N_t - M_y}{M} depende apenas de y, então existe um fator integrante \mu que depende apenas de y.

EDO’s de 1ª Ordem Exatas | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

1) Resolva as EDOs de 1ª ordem abaixo:

a) 2xy dx + (x^2 - 1) dy = 0

SOLUÇÃO: 

b) (e^{2y} - y cos{(xy)})dx + (2x e^{2y} - xcos(xy) + 2y) dy = 0. 

SOLUÇÃO: 

c) (x+y) dx + xlnx dy = 0 

SOLUÇÃO: xx, 

d) (x + 3x^3 sen(y))dx + (x^4 cos(y))dy = 0

SOLUÇÃO: Esta EDO não é exata, pois $$ \frac{\partial M}{\partial y} = 3x^2cos(y) \neq 4x^3cos(y) = \frac{\partial N}{\partial x} .$$ Um fator integrante desta equação é o termo x^{-1} , e desta forma obtemos a equação $$ (1 + 3x^2 sen(y))dx + (x^3 cos(y))dy = 0.$$ Esta nova equação é exata com solução dada implicitamente por $$x+x^3 sen(y) = c.$$

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