EDO’s de 1ª Ordem Exatas | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

Neste artigo queremos apresentar uma lista de exercícios resolvidos sobre EDO’s de primeira ordem exatas. Uma expressão diferencial $$M(x,y) dx+N(x,y)dy$$ é uma diferencial exata em uma região R do plano xy se ela corresponde à diferencial de alguma função f(x,y) . Uma equação diferencial da forma $$M(x,y) dx+N(x,y)dy=0$$ é chamada de equação exata se a expressão do lado esquerdo é uma diferencial exata.

Pode-se mostrar que a equação M(t,y)+N(t,y)y'=0, é uma EDO exata em R se, e somente se, M_y (t,y)=N_t (t,y) em cada ponto de R. Se a EDO é exata, então podemos afirmar que existe uma função \psi tal que \psi (t,y) = c é uma solução implícita desta EDO exata e \dfrac{\partial \psi}{ \partial t}(t,y)=M(t,y),\;\;\;\dfrac{ \partial \psi}{ \partial y}(t,y)=N(t,y) se, e só se, M_y (t,y)=N_t (t,y).

Algumas vezes é possível transformar uma EDO não-exata em uma EDO exata multiplicando a equação por um fator integrante apropriado. Para que este fator integrante \mu (t) exista para uma EDO não-exata na forma M(t,y)+N(t,y)y'=0, é necessário que \dfrac{d\mu}{dt}=\dfrac{M_y - N_t}{N} \mu. Se \dfrac{M_y - N_t}{N} depende apenas de t, então existe um fator integrante \mu que depende apenas de t. Analogamente, se \dfrac{N_t - M_y}{M} depende apenas de y, então existe um fator integrante \mu que depende apenas de y.

EDO’s de 1ª Ordem Exatas | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

1) Resolva as EDOs de 1ª ordem abaixo:

a) 2xy dx + (x^2 - 1) dy = 0

SOLUÇÃO: 

Como M(x,y) = 2xy e N(x,y) = x^2 - 1 , temos \dfrac{\partial M}{\partial y} = 2x = \dfrac{\partial N}{\partial x} . Logo, a equação é exata e existe \Psi(x,y) tal que \Psi(x,y) = k é solução implícita da EDO e \dfrac{\partial \Psi}{\partial y} = x^2 - 1 e \dfrac{\partial \Psi}{\partial x} = 2xy .

Após integrar \dfrac{\partial \Psi}{\partial x} = 2xy encontramos $$ \Psi(x,y) = x^2y+ g(y) .$$ Assim, $$ \frac{\partial \Psi}{\partial y} = x^2 – 1 = \frac{\partial}{\partial y} \left(x^2y+ g(y) \right )= x^2 + g'(y) .$$ Portanto, g(y) = -y .

Segue-se que $$ x^2y – y = c .$$ é a solução implícita da EDO.

b) (e^{2y} - y cos{(xy)})dx + (2x e^{2y} - xcos(xy) + 2y) dy = 0. 

SOLUÇÃO: 

Neste caso, como M(x,y) = e^{2y} - y cos{(xy)} e N(x,y) = 2x e^{2y} - xcos(xy) + 2y , podemos ver que $$ \frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2y} + xy sen(xy) – cos(xy) = \frac{\partial N}{\partial x} . $$ Logo, existe uma função \Psi(x,y) tal que \Psi(x,y) = k é solução implícita da EDO e \dfrac{\partial \Psi}{\partial y} = 2x e^{2y} - xcos(xy) + 2y e \dfrac{\partial \Psi}{\partial x} = e^{2y} - y cos{(xy)} .

Partindo de \dfrac{\partial \Psi}{\partial y} = 2x e^{2y} - xcos(xy) + 2y e integrando em relação a y, encontramos $$ \Psi(x,y) = xe^{2y} – sen(xy)+y^2 + h(x)$$

Daí,  $$ \frac{\partial \Psi}{\partial x} = e^{2y} – y cos{(xy)} +h'(x) = e^{2y} – y cos{(xy)} \Rightarrow h(x) = c.$$

Portanto, a solução desta equação é dada por $$xe^{2y} – sen(xy)+y^2 = c.$$

c) (x+y) dx + xlnx dy = 0 

SOLUÇÃO: 

Observe que esta não é uma EDO exata, pois M(x,y) = x + y e N(x,y) = xlnx nos dá $$ \frac{\partial M}{\partial y} = 1 \neq 1 + ln(x) \frac{\partial N}{\partial x} . $$

Porém, podemos encontrar um fator integrante que depende apenas da variável x, dado por \mu (x) = \frac{1}{x} :

$$\frac{d\mu}{dx}=\frac{M_y – N_x}{N} \mu = \frac{1 – (1 + ln(x))}{xlnx} \mu = – \frac{\mu}{x}$$ o que nos leva a $$ \mu (x) = \frac{1}{x} .$$

Multiplicando esse fator integrante na equação obtemos $$ \left( 1 + \frac{y}{x}  \right)dx + \ln{(x)} dy = 0.$$ Agora, considerando M(x,y) = 1 + \frac{y}{x} e N(x,y) = \ln{(x)} temos que $$ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \frac{\partial N}{\partial x} . $$ Portanto, a segunda equação diferencial é exata.

Logo, integrando M(x,y) com relação à variável x, encontramos $$ \Psi(x,y) = x + y \ln{x} + g(y) $$ e usando o fato de \dfrac{\partial \Psi}{\partial y} = \ln{(x)} = 0 + \ln{(x)} + g'(y) \Leftrightarrow g(y) = c , encontramos $$ x + y \ln{x} = c.$$

d) (x + 3x^3 sen(y))dx + (x^4 cos(y))dy = 0

SOLUÇÃO: Esta EDO não é exata, pois $$ \frac{\partial M}{\partial y} = 3x^2cos(y) \neq 4x^3cos(y) = \frac{\partial N}{\partial x} .$$ Um fator integrante desta equação é o termo x^{-1} , e desta forma obtemos a equação $$ (1 + 3x^2 sen(y))dx + (x^3 cos(y))dy = 0.$$ Esta nova equação é exata com solução dada implicitamente por $$x+x^3 sen(y) = c.$$

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