E.D.O.’s de 1ª Ordem | 8ª Lista de Exercícios Resolvidos

Apresentamos mais seis exercícios resolvidos sobre equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem que contemplam os principais tipos de equações!

Nesse artigo, queremos apresentar uma oitava lista de exercícios resolvidos sobre EDO’s de 1ª ordem num caso geral, onde precisamos encontrar o melhor método de solução entre as formas lineares, exatas e separáveis, além de equações específicas como as de Bernoulli e Ricatti e algumas substituições interessantes.

Nosso problema consiste em: Dada f\left(t,y \right), encontre funções y(t) que satisfaçam essa equação \frac{dy}{dt}= f\left(t,y \right) onde f é uma função nas variáveis t e y.

O que garante a existência de tais soluções é o teorema da existência e unicidade de soluções para equações diferenciais de primeira ordem, que sob certas condições asseguram a existência de um intervalo que tal solução está definida.

EDO’s de 1ª Ordem | 8ª Lista de Exercícios Resolvidos

Questão 1: Resolva as equações diferenciais de 1ª ordem abaixo:

a) \left( x^2+1 \right) y' + y^2 +1 = 0

Solução: Esta é uma equação separável, assim, separando as variáveis encontramos $$ \frac{dy}{1+y^2} = – \frac{dx}{1+x^2}.$$ Integrando em ambos os lados para as respectivas variáveis obtemos a solução geral implícita $$ \text{arc tan} (y) = – \text{arc tan} (x) +c$$ ou ainda $$\text{arc tan} (y) + \text{arc tan} (x) = c.$$ Aplicando a tangente em ambos os lados obtemos $$ \text{tan} \left( \text{arc tan} (y) + \text{arc tan} (x) \right) = \text{tan} (c).$$

Aplicando a fórmula \text{tan} (A+B) =  \frac{\text{tan} (A) + \text{tan} (B)}{1 - \text{tan} (A) \text{tan} (B)} : $$ \text{tan} \left( \text{arc tan} (y) + \text{arc tan} (x) \right) = \frac{\text{tan} (\text{arc tan} (y)) + \text{tan} (\text{arc tan} (x))}{1 – \text{tan} (\text{arc tan} (y)) \text{tan} (\text{arc tan} (x))} = \\ = \frac{y+x}{1- xy}.$$

Por consequência, poderemos escrever que a solução implícita desta equação diferencial ainda por ser dada por $$ \frac{y+x}{1- xy} = \text{tan} (c).$$ Multiplicando cruzado, encontramos $$ y+x = \text{tan} (c) – xy \text{tan} (c) $$ $$ y+ xy \text{tan} (c)  = \text{tan} (c) – x $$  $$ y \left( 1 + x \text{tan} (c)  \right) = \text{tan} (c) – x $$ $$ y(x) = \frac{\text{tan} (c) – x}{1 + x \text{tan} (c)}$$

b) x y' + y +4 = 0

Solução: Se escrevemos a equação na forma $$(y+4)dx + xdy = 0$$, teremos que M (x,y) = y+4 e N (x,y) = x . Desta forma, a igualdade $$ \frac{\partial M}{\partial y} = 1 = \frac{\partial N}{\partial x} $$ nos diz que esta é uma equação exata.

Sabendo que a solução implícita desta equação será dada pela igualdade $$ \Psi (x,y) = c $$ onde $$\frac{\partial \Psi}{\partial x} = M(x,y) \qquad e \qquad \frac{\partial \Psi}{\partial y} = N(x,y)$$ encontramos, por integração de $$ \frac{\partial \Psi}{\partial y} = N(x,y) = x$$ que $$\Psi (x,y) = yx +f(x).$$ Para determinar f(x) derivamos \Psi para a variável y : $$ \frac{\partial \Psi}{\partial x} = y + f'(x) = M(x,y) = y+4 \Leftrightarrow f'(x) = 4 \Leftrightarrow f(x) = 4x.$$

Portanto $$ yx + 4x = c$$ é a solução implícita da equação diferencial, que pode ser dada de forma explícita por $$ y(x) = \frac{c}{x} – 4 .$$

c) x^2 y' + 2xy -x  +1 = 0

Solução: Esta equação é linear e pode ser reescrita como  $$ x^2 y’ + 2xy = x  – 1 \Leftrightarrow \left[ x^2 y \right]’ = x-1.$$ Desta forma, integrando para x em ambos os lados da equação encontramos $$ x^2 y = \frac{x^2}{2} – x +c$$ o que nos leva à solução explícita $$ y(x) = \frac{1}{2} – \frac{1}{x} + \frac{c}{x^2}.$$

Questão 2: Solucione as equações de primeira ordem abaixo:

a) y' = 4+5y+y^2;

SOLUÇÃO: Observe que a equação 4+5y+y^2 =0 possui raízes dadas por y=-1 e y=-4 . Logo, podemos escrever $$ y^2 +5y+4 = (y+4)(y+1).$$ Como a E.D.O. y' = 4+5y+y^2 é separável, encontramos $$ \frac{dy}{(y+4)(y+1)} = dx \Leftrightarrow \left[ \frac{1}{3(y+1)} – \frac{1}{3(y+4)} \right]dy = dx.$$ Integrando em ambos os lados obtemos a solução implícita $$ \frac{1}{3} \left( \ln{|y+1|} – \ln{|y+4|} \right) = x + k $$ $$\ln{|y+1|} – \ln{|y+4|} = 3 (x+k) $$ $$\frac{|y+1|}{|y+4|} = e^{3(x+k)}$$ $$y+1 = (y+4)e^{3(x+k)}$$ $$ y(x) = \frac{1+4e^{3(x+k)}}{1- e^{3(x+k)}}$$

b) -xy'+y = (y' +1)^2;

SOLUÇÃO: Escrevendo a equação na forma y = xy' + \left( y'+1 \right)^2, podemos derivar novamente em relação a x , o que nos leva a $$y” \left( x+2y’+1 \right) = 0$$ Logo $$ y” = 0 \qquad \text{ou} \qquad x+2y’+1 = 0, $$ ou seja, $$ y(x) = c_1 x^2 +c_2 x \qquad \text{ou} \qquad y(x) = \frac{1}{2} \left( \frac{-x^2}{2} – x \right).$$ Note que a segunda solução é um caso particular da primeira solução.

c) ye^{xy}x' +xe^{xy} = 12 y^2 .

SOLUÇÃO: Note que: $$ \frac{d}{dy}\left[ e^{xy} \right] = e^{xy}x’y+ e^{xy}x.$$ Logo, a equação $$ye^{xy}x’ +xe^{xy} = 12 y^2$$ pode ser reescrita como $$\frac{d}{dy}\left[ e^{xy} \right] = 12y^2$$ que integrada em ambos os lados nos dá a solução implícita $$ e^{xy} = 4y^3 + k.$$ Daí, encontramos como solução explícita $$x(y) = \frac{1}{y} \ln{|4y^3 + k |}.$$

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