Resolvendo EDO’s por Laplace | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos

Para resolver Equações Diferenciais Ordinárias usando a Transformada de Laplace basta seguir os passos: 1) Aplique a transformada em toda a equação; 2) Isole a transformada da variável dependente; e 3) Aplique a transformada inversa e encontre solução da sua transformada.

Na prática, considere o problema de valor inicial $$y” + ay’ + by = r(t),\;\;\;y(0) = K_1\;\;\;\;y'(0) = K_2$$ sendo a e b constantes. Neste caso, aplicando a Transformada de Laplace na equação, e lembrando que \mathscr{L}(f')  =  s \mathscr{L} (f)-f(0) e \mathscr{L} (f'')  =  s^2 \mathscr{L} (f) - sf(0) - f'(0) , obtemos $$ \mathscr{L}\{ y” + ay’ + by \} = \mathscr{L}\{ r(t) \}$$ $$ \mathscr{L}\{ y”\} + a \mathscr{L}\{y’\} + b \mathscr{L}\{y \} = \mathscr{L}\{ r(t) \} $$ $$ \left[ s^2 Y(s) – sy(0) – y'(0) \right] + a \left[ s Y(s) – y(0) \right] + b Y(s) = R(s) $$ $$ \left[ s^2 Y(s) – sK_1 – K_2 \right] + a \left[ s Y(s) – K_1 \right] + b Y(s) = R(s) $$ $$ Y(s) \left[ s^2 + as +b \right] – \left[ s K_1 + a K_1 + K_2 \right] = R(s) $$ $$ Y(s) \left[ s^2 + as +b \right] = R(s) + \left[ s K_1 + a K_1 + K_2 \right] $$ $$ Y(s) = \frac{R(s) +  s K_1 + a K_1 + K_2}{s^2 + as +b} .$$ Agora, bastaria encontrar $$ y(t) = \mathscr{L}^{-1}\{ Y(s) \} = \mathscr{L}^{-1}\left\{ \frac{R(s) +  s K_1 + a K_1 + K_2}{s^2 + as +b} \right\}$$ que teremos a solução do problema de valor inicial.

Resolvendo E.D.O.’s Via Transformada de Laplace – 3ª Lista de Exercícios

EXERCÍCIO 1

Usando a Transformada de Lapalace, mostre que o P.V.I. y'' + w^2y = 0 com y(0) = A e y'(0) = B possui solução dada por y(t) = Acos(wt)+\frac{B}{\omega} sen(wt).

Aplicando a Transformada de Laplace na equação y'' + w^2y = 0, obtemos, $$s^2 Y -As-B + \omega ^2 Y = 0$$ o que nos leva a $$Y(s) = A \frac{s}{s^2 + \omega ^2} + \frac{B}{\omega} \frac{\omega }{s^2 + \omega ^2}.$$

Aplicando a Transformada de Laplace Inversa encontramos $$y(t) = Acos(\omega t)+\frac{B}{\omega} sen(\omega t).$$

EXERCÍCIO 2

Resolva o P.V.I. y'' +3y'+ 2y = g(t) com y(0) = 0, y'(0) = 0 e $$g(t)=\left\{ \begin{array}{ll}
1; & 0\leq t <1\\
0; & para\;\;\;os\;\;\;demais\;\;\;pontos \end{array} \right.$$

Como g(t) = 1 - u(t-1) então a equação se torna y'' +3y'+ 2y = 1 - u(t-1) e aplicando a Transformada de Laplace obstemos $$s^2 Y + 3s Y + 2 Y = \frac{1}{s} – \frac{e^{-s}}{s} $$ o que nos leva a $$Y(s) = \frac{1}{s (s^2+3s+2)} – e^{-s} \left( \frac{1}{s (s^2+3s+2)}  \right).$$

Como $$ \frac{1}{s (s^2+3s+2)}  = \frac{1}{2} \frac{1}{s+2} – \frac{1}{s+1} + \frac{1}{2s}$$ tem Transformada de Laplace Inversa dada por $$\mathscr{L} ^{-1} \left( \frac{1}{s (s^2+3s+2)}  \right) = \frac{1}{2} e^{-2t}- e^{-t} + \frac{1}{2}.$$

Por tanto, $$y(t) = \left( \frac{1}{2} e^{-2t}- e^{-t} + \frac{1}{2} \right) – u(t-1) \left( \frac{1}{2} e^{-2(t-1)}- e^{-(t-1)} + \frac{1}{2} \right).$$

EXERCÍCIO 3

y' - 3y = e^{2t}, \;\;\; y(0)=1; 

SOLUÇÃO: Calculamos primeiramente a Transformada de cada membro da equação diferencial dada:

$$ \mathscr{L} \left[ y’ \right] – \mathscr{L} \left[3y\right] = \mathscr{L} \left[ e^{2t}\right] \Leftrightarrow s Y – 1 -3 Y = \frac{1}{s-2},$$ donde obtemos $$Y(s) = \frac{s-1}{(s-2) (s-3)} .$$

Usando Frações Parciais encontramos

$$Y(s) = \frac{s-1}{(s-2) (s-3)} = \frac{-1}{s-2} + \frac{2}{s-3}.$$

Portanto, $$y(t) = \mathscr{L} ^{-1} \left[ \frac{-1}{s-2} + \frac{2}{s-3} \right] = – e^{2t} + 2 e^{3t}. $$

EXERCÍCIO 4

y'' - 6y' + 9y = t^2 e^{3t}, \;\;\; y(0)=2, y'(0) = 6; 

SOLUÇÃO: Aplicando a Transformada de Laplace na EDO, encontramos $$s^2 Y – 2s – 6 – 6sY – 2 + 9 Y = \frac{2}{(s-3)^2} \Leftrightarrow Y = \frac{2}{s-3} + \frac{2}{(s-3)^5}. $$

Assim, $$ y(t) = \mathscr{L} ^{-1} \left[  \frac{2}{s-3} + \frac{2}{(s-3)^5} \right] = 2 e^{3t} + \frac{1}{12} t^4 e^{3t} .$$

EXERCÍCIO 5

y'' + 4y' + 6y = 1 + e^{-t} , \;\;\; y(0)=0, y'(0) = 0;  

SOLUÇÃO: Aplicando a Transformada de Laplace na EDO, encontramos: $$s^2 Ys +4sY + 6 Y = \frac{1}{s} + \frac{1}{s+1} \Leftrightarrow Y(s) = \frac{2s +1}{s(s+1)(s^2 + 4s +6)}.$$

Aplicando frações parciais encontramos

$$\frac{2s +1}{s(s+1)(s^2 + 4s +6)} = \frac{1}{6} \frac{1}{s} + \frac{1}{3} \frac{1}{s+1} + \frac{-s/2 – 5/3}{s^2 + 4s + 6}.$$

Portanto, $$ y(t) = \mathscr{L} ^{-1} \left[ \frac{1}{6} \frac{1}{s} + \frac{1}{3} \frac{1}{s+1} + \frac{-s/2 – 5/3}{s^2 + 4s + 6} \right] = $$ $$ =  \mathscr{L} ^{-1} \left[ \frac{1}{6} \frac{1}{s} + \frac{1}{3} \frac{1}{s+1} + \frac{-1/2 (s +2) – 2/3}{(s+2)^2 +2} \right] = $$ $$= \mathscr{L} ^{-1} \left[ \frac{1}{6} \frac{1}{s} + \frac{1}{3} \frac{1}{s+1} – \frac{1}{2} \frac{(s +2)}{(s+2)^2 +2} – \frac{2}{3 \sqrt{2}} \frac{\sqrt{2}}{(s+2)^2 +2} \right] = $$ $$=  \frac{1}{6} + \frac{1}{3} e^{-t} – \frac{1}{2} e^{-2t} cost(\sqrt{2} t) – \frac{2}{3 \sqrt{2}} e^{-2t} sen(\sqrt{2} t) .$$

EXERCÍCIO 6

x'' + 16x = f(t), \;\;\; x(0)=0, x'(0) = 1;   onde f(t) = \left\{\begin{array}{rl}cos(4t); & 0 \leq t <\pi \\\\0; & t \geq \pi \end{array}\right.

SOLUÇÃO: A função f(t) pode ser reescrita usando a função degrau (lembrando que a função cosseno é 4 \pi periódica):

$$ f(t) = cos(4t) – cos(4t) u(t- \pi) =  cos(4t) – cos(4(t- \pi)) u(t – \pi) .$$

Logo, reescrevemos nossa EDO como $$ x” + 16x = cos(4t) – cos(4(t- \pi)) u(t – \pi).$$

Aplicando a Transformada de Laplace na EDO:

$$ s^2 X -1 + 16 X = \frac{s}{s^2 +16} – \frac{s}{s^2 + 16} e^{- \pi s} \Leftrightarrow $$ $$ \Leftrightarrow X(s) = \frac{1}{s^2 + 16} + \frac{2}{(s^2 +16)^2} – \frac{s}{(s^2 + 16)^2} e^{- \pi s} .$$

Daí, $$x(t) = \mathscr{L} ^{-1} \left[ \frac{1}{s^2 + 16} + \frac{2}{(s^2 +16)^2} – \frac{s}{(s^2 + 16)^2} e^{- \pi s} \right] = $$ $$ = \frac{1}{4} \mathscr{L} ^{-1} \left[ \frac{4}{s^2 + 16} \right] + \frac{1}{8} \mathscr{L} ^{-1} \left[ \frac{8s}{(s^2 + 16)^2} \right] – \frac{1}{8} \mathscr{L} ^{-1} \left[ \frac{8s}{(s^2 + 16)^2} e^{- \pi s} \right] = $$ $$ = \frac{1}{4} sen(4t) + \frac{1}{8} t sen(4t) – \frac{1}{8}(t – \pi) sen(4[t – \pi]) u(t- \pi) .  $$

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