Transformada de Laplace e a Convolução | Lista de Exercícios Resolvidos

convolução de f e g

Se duas funções f e g satisfazem as condições de existência da Transformada de Laplace, e f e g sejam, respectivamente, suas transformadas, então o produto H=FG é a transformada da convolução de f e g. Ou seja, $$\mathscr{L}(f).\mathscr{L}(g) = \mathscr{L}(f*g),$$ por consequência, $$\mathscr{L}^{-1}(F.G) = f*g .$$

Transformada de Laplace e a Convolução | Lista de Exercícios Resolvidos

1) Calcule \mathscr{L} \left[e^{-t} *e^t cos(t)  \right]

SOLUÇÃO: 

2) Calcule:

a) F(s) = \dfrac{1}{(s-3)(s+5)} (usando a convolução).

b) F(s) = \dfrac{5}{(s^2+1)^2}, (usando a convolução).

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c) F(s) = \dfrac{1}{s^2 (s-2)} (usando a convolução).

d) \mathscr{L} ^{-1} \left( \frac{1}{(s-1)(s+4)} \right) (usando a convolução);

SOLUÇÃO: 

e) \mathscr{L} ^{-1} \left( \frac{1}{(s^2 + 4s +5) ^2} \right) (usando a convolução);

SOLUÇÃO: 

f) \mathscr{L} \left[e^{-t} *e^t cos(t)  \right]

SOLUÇÃO: 

g) \mathscr{L} ^{-1} \left( \frac{1}{(s-1)(s+4)} \right) (usando a convolução);

SOLUÇÃO: 

h) \mathscr{L} ^{-1} \left( \frac{1}{(s^2 + 4s +5) ^2} \right) (usando a convolução);

SOLUÇÃO: 

3) Encontre a solução do problema de valor inicial $$y”+4y = g(t),$$ com y(0) =3 e y'(0) = -2.

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