Arquimedes: Como as ideias deste matemático criaram Shrek, Avatar e Toy Story?

Como a matemática de mais de 2000 anos desenvolvida por Arquimedes ajudou a criar filmes de animação digital como Shrek e Toy Story.

Você sabia que as ideias de Arquimedes, um famoso matemático e físico da Grécia Antiga, são aplicadas na animação digital? Neste artigo, vamos explorar a conexão entre as ideias de Arquimedes e a animação digital, e descobrir como a técnica do cálculo de áreas curvas desenvolvida por Aruimedes criaram personagens como Shrek e Buzz Lightyear.

A geometria de Arquimedes desempenha um papel importante na modelagem 3D na animação digital. Arquimedes foi um dos primeiros matemáticos a estudar sólidos geométricos, como esferas, cilindros e cones. Essas formas geométricas são amplamente utilizadas na modelagem 3D para criar personagens, objetos e cenários virtuais.

Neste nosso artigo, inspirado pelo segundo capítulo do excelente livro “O poder do infinito: Como o cálculo revela os segredos do universo”, de Steven Strogatz, queremos mostrar como a técnica de aproximação do cálculo de áreas curvas desenvolvido por Arquimedes, e que antecipou o cálculo integral de Bernhard Riemann, é usada atualmente para refinar a animação gráfica em estúdios como Pixar, Dreamworks e Disney.

Como bem lembrou o próprio Steven Strogatz no livro “O poder do infinito: Como o cálculo revela os segredos do universo”, na época do lançamento do filme “Toy Story”, Steve Jobs, cofundador da Pixar, declarou à revista Wired, que aborda tecnologias emergentes: “Há mais Ph.D.s trabalhando neste filme do que em qualquer outro da história do cinema.”

Quem Foi Arquimedes de Siracusa?

Arquimedes (287 a.C. – 212 a.C.) foi um matemático, físico, engenheiro, astrônomo e inventor grego antigo da antiga cidade de Siracusa, na Sicília. Suas contribuições em geometria revolucionaram o assunto e seus métodos anteciparam o cálculo integral. Ele era um homem prático que inventou uma grande variedade de máquinas, incluindo polias e o dispositivo de bombeamento de parafuso de Arquimedes.

Geralmente lembramos de Arquimedes pelo famoso Princípio do Empuxo (um corpo imerso em um fluido sofre um expuxo igual ao peso do fluido deslocad0) e pela sua Lei da Alavanca (ojetos posicionados em lados opostos de uma balança vão se equilibrar somente, e tão somente, se seus pesos estiverem em uma proporção inversa e suas distâncias do ponto de apoio).

Ambas as ideias têm inúmeras aplicações práticas. O princípio de flutuabilidade de Arquimedes explica por que alguns objetos flutuam e outros não. Está subjacente a toda a arquitetura naval, à teoria da estabilidade dos navios e aos projetos de plataformas de perfuração de petróleo no mar. Você confia na lei da alavanca – mesmo que não saiba disso – todas as vezes que usa um cortados de unhas ou um pé de cabra.

Arquimedes foi a mente mais prodigiosa de seu tempo. Ele pavimentou o caminho para o cálculo integral, cujas ideias mais profundas são claramente visíveis em seu trabalho, isso quase 2000 anos antes de Bernhard Riemann sistematizar rigorosamente a ideia de Integral.

Duas estratégias aparecem repetidamente em sues trabalhos e ecoam até os dias de hoje. O primeiro é o Princípio do Infinito. O segundo foi combinar a matemática e a física, “o ideal e o real”, como definiu Steven Strogatz no livro “O poder do infinito: Como o cálculo revela os segredos do universo”.

Mais especificamente, Arquimedes uniu geometria, o estudo das formas, à mecânica, o estudo de movimento e força.

Usando ambas as estratégias com sua inigualável habilidade, Arquimedes conseguiu penetrar profundamente no mistério das curvas.

O Princípio do Infinito de Arquimedes

O Princípio do Infinito foi usado por Arquimedes para “sondar os mistérios de círculos, esferas e outras curvas”, como bem observou Steven Strogatz no livro “O poder do infinito: Como o cálculo revela os segredos do universo”. Aliás, este livro traz em detalhes as ideias e técnicas de Arquimedes e indico fortemente a sua leitura.

Arquimedes aproximava estas formas curvas por formas retilíneas, representadas com muitas peças retas e planas, facetadas como joias lapidadas.

Ao imaginar peças cada vez menores, ele se aproximou cada vez mais da verdade, levando a exatidão ao limite como um número “infinito” de peças (mesmo que Arquimedes não usasse propriamente a ideia de inifinto como entendemos hoje).

O Legado de Arquimedes: a animação digital

O legado de Arquimedes está vivo hoje. Pense nos filmes de animação digital que as crianças adoram ver.

Os personagens de filmes como “Shrek”, “Procurando Nemo” e “Toy Story” parecem naturais em parte porque incorporam uma constatação arquimediana: qualquer superfície suave pode ser convincentemente representada por triângulos.

Aqui temos, por exemplo, três triangulações da cabeça de um manequim:

Quanto mais triângulos forem usados e quanto menores forem, melhor a representação. O que vale para manequins também vale para ogros, peixes-palhaço e caubóis de brinquedo.

Shrek é como um mosaico de fragmentos triangulares, não como uma cebola

Assim como Arquimedes usou um mosaico de infinitos fragmentos triangulares para representar o segmento de uma parábola suavemente curvada, os animadores modernos da DreamWorks criaram a barriga redonda do Shrek e suas lindas orelhinhas com dezenas de milhares de polígonos.

Uma quantidade ainda maior foi necessária para uma cena em que Shrek luta contra bandidos locais: cada um de seus quadros exigiu mais de 45 milhões de polígonos.

Mas não havia qualquer vestígio deles no filme pronto. Como o Princípio do Infinito nos ensina, o reto e o recortado podem representar o curvo e o liso.

Avatar usou um milhão de polígonos para desenhar cada planta

Quando “Avatar” foi lançado, quase uma década depois, em 2009, o nível de detalhamento poligonal se tornara mais extravagante.

Por insistência do diretor, James Cameron, os animadores usaram cerca de 1 milhão de polígonos para desenhar cada planta do mundo imaginário de Pandora.

Considerando que o filme “Avatar” foi ambientado em uma luxuriante floresta virtual, o número de plantas era enorme….. assim como o número de polígonos.

Não é de admirar que a produção de “Avatar” tenha custado 300 milhões de dólares. Foi o primeiro filme da história a utilizar polígonos aos bilhões.

Toy Story foi o primeiro a trazer as ideias de Arquimedes para a animação digital

Os primeiros filmes gerados por computador usavam muito menos polígonos. No entanto, na época, os cálculos foram surpreendentes.

Tomemos como exemplo Toy Story, lançado em 1995. Naquela época, um único animador levava uma semana para sincronizar uma tomada de oito segundos.

O filme todo levou quatro anos e 800 mil horas no computador para ser concluído.

O Jogo de Geri: O curta-metragem que mudou o jogo na animação digital

Logo após Toy Story, foi lançado O Jogo de Geri, primeiro filme de animação por computador com um protagonista humano. Essa história triste mas divertida, de um velho solitário que joga xadrez com ele mesmo em um parque, ganhou o Oscar de melhor curta-metragem de animação em 1998.

Como outros personagens gerados por computador, Geri foi construído a partir de formas angulares. Os animadores da Pixar criaram a cabeça de Geri a partir de um poliedro complexo, uma forma tridimensional que lembrava uma gema lapidada, com cerca de 4.500 cantos e facetas planas.

Para criar uma representação cada vez mais detalhada, os animadores subdividiram repetidamente essas facetas, em um processo que consumia muito menos memória do computador que os anteriores e permitia animações muito mais rápidas.

Na época, foi um avanço revolucionário na animação digital. Mas em espírito seguiu Arquimedes. Lembremo-nos de que, para calcular o pi, Arquimedes começou com um hexágono, subdividiu cada lado e empurrou seus pontos médios para fora do círculo, gerando um dodecágono.

Depois de outra subdivisão, o dodecágono se tornou um poligono de 24 lados, depois um de 48 lados e, finalmente, um de 96 lados, cada vez mais avançando sobre o alvo, o círculo delimitador.

Da mesma forma, os animadores de Geri forar se aproximando da testa enrugada do personagem, de seu nariz protuberante e das dobras de pele em seu pescoço subdividindo incessantemente um poliedro. Repetindo o processo várias vezes, conseguiram dar ao velho Geri a aparência desejada: a de um boneco que transmitia uma ampla gama de sentimentos humanos.

A ideia de Arquimedes foi refinada rumo ao realismo da expressão emocional na animação digital

Poucos anos depois, a DreamWorks, uma concorrente da Pixar, avanço ainda mais em realismo e expressão emocional ao contar a história de um ogro malcheiroso, irritadiço e heroico chamado Shrek. Embora nunca tenha existido fora de um computador, Shrek era praticamente humano. O que se deve, em parte, ao fato de os animadores terem reproduzido com extremo cuidado a anatomia humana.

Sob a pele virtual do ogro, eles construíram músculos, gordura e juntas virtuais. Isso foi feito com tanto cuidado que, quando Shrek abria a boca para falar, a pele de seu pescoço formava um queixo duplo.

O que nos leva a outra área em que a aproximação poligonal idealizada por Arquimedes tem se mostrado útil: a cirurgia facial para oclusão dental defeituosa, mandíbulas desalinhadas e outras malformações congênitas, mas aí já assunto para um outro artigo.

Acredite, o Princípio da Flutuabilidade também é usado na animação digital atualmente

O princípio da flutuabilidade, é amplamente aplicado na animação de fluidos. Como dito antes, esse princípio afirma que um objeto imerso em um fluido recebe uma força de empuxo igual ao peso do fluido deslocado pelo objeto.

Na animação digital, esse princípio é utilizado para criar efeitos realistas de água, como ondas, correntes e respingos. Os animadores usam equações matemáticas e simulações computacionais para calcular a interação entre os objetos e os fluidos, garantindo que os movimentos sejam precisos e naturais. A aplicação dos princípios de Arquimedes na animação de fluidos é apenas um exemplo de como a ciência e a arte se unem para criar experiências visuais impressionantes.

Enfim

A geometria de Arquimedes também desempenha um papel importante na modelagem 3D na animação digital. Arquimedes foi um dos primeiros matemáticos a estudar sólidos geométricos, como esferas, cilindros e cones. Essas formas geométricas são amplamente utilizadas na modelagem 3D para criar personagens, objetos e cenários virtuais.

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