Introdução às Equações Diferenciais | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

Neste artigo queremos apresentar uma lista de exercícios resolvidos envolvendo as bases conceituais para o estudo das equações diferenciais, com vistas a uma análise abrangente, seja ela qualitativa ou quantitativa.

Uma equação diferencial, grosso modo, é uma relação entre uma função e suas derivadas. Uma definição rigorosa do que é uma equação diferencial é dada da seguinte forma: Uma equação que contém as derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes, em relação a uma ou mais variáveis independentes, é chamada de de equação diferencial.

Introdução às Equações Diferenciais | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

1) Classifique quanto à ordem e linearidade as seguintes EDO’s abaixo:

1. \dfrac{dy}{dt}-2y = 4-t (EDO de 1ª ordem linear)
2. y' + 2ty = 0 (EDO de 1ª ordem linear)
3. y' + 3y = t + e^{-2t} (EDO de 1ª ordem linear)
4. ty' + 2y = \sin{t} (EDO de 1ª ordem linear)
5. \dfrac{dy}{dt}-e^{t^2}y = 0 (EDO de 1ª ordem linear)
6. 2xy'-4x=4y-2yy' (EDO de 1ª ordem não-linear)
7. \dfrac{dy}{dt}- 2ty = t (EDO de 1ª ordem linear)
8. y'+ \dfrac{1}{t}y=3 \cos 2t\;\;\;\;\; t>0 (EDO de 1ª ordem linear)
9. \left( e^t \sin{y} -2y \sin{t} \right)dt +\left( e^t \cos{y} -2 \cos{t} \right)dy=0 (EDO de 1ª ordem não-linear)
10. \dfrac{dy}{dt}+y = \dfrac{1}{1+t^2} (EDO de 1ª ordem linear)
11. \dfrac{dy}{dt}-y\cos t = 0 (EDO de 1ª ordem linear)
12. \left( t\ln{y}+ ty \right)dt +\left( y \ln{t} +ty \right)dy=0, \;\;\;t>0\;\;\;y>0 (EDO de 1ª ordem não-linear)
13. \dfrac{dy}{dt}-y \sin t \sqrt{t} = 0 (EDO de 1ª ordem linear)
14. \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{4t-t^3}{4+y^3} (EDO de 1ª ordem não-linear)
15. \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{t^2}{y} (EDO de 1ª ordem não-linear)
16. \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{\cos ^2 t }{ \sin ^2 y} (EDO de 1ª ordem não-linear)
17. \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{t-e^{-t} }{ y + e^y} (EDO de 1ª ordem não-linear)
18. y'+y=5\sin{2t} (EDO de 1ª ordem linear)
19. \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{ t^2 }{ 1 + y^2} (EDO de 1ª ordem não-linear)
20. (1+t^2)y' + 4ty=(1+t^2)^{-2} (EDO de 1ª ordem linear)
21. \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{ t^2 + ty +y^2}{ t^2} (EDO de 1ª ordem não-linear)
22. \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{ 4y-3t }{ 2t-y} (EDO de 1ª ordem não-linear)
23. x dy + ydx = 0 EDO de Primeira Ordem Linear
24. y'' - 2 y' + y = 0 EDO de Segunda Ordem Linear
25. x^3 \dfrac{d^3 y}{dx^3} - x^2 \dfrac{d^2 y}{dx^2} + 3x + 5y = e^x EDO de Terceira Ordem Linear
26. x^3 y^{(4)} - x^2 y'' + 4xy' - 3y = 0 EDO de Quarta Ordem Linear

2) a) Verifique se y = \dfrac{x^4}{16} é uma solução para a equação não-linear $$\frac{dy}{dx} = x y^{1/2}.$$

SOLUÇÃO: Substituindo a solução na equação, obtemos: $$ \left( \frac{x^4}{16} \right) ^{´} = x \left( \frac{x^4}{16} \right)^{1/2} \Leftrightarrow \frac{x^3}{4} – \left( \frac{x^4}{16} \right)^{1/2} = \frac{x^3}{4} – \frac{x^3}{4} = 0. $$ Portanto, y = \dfrac{x^4}{16} é uma solução para a equação não-linear $$\frac{dy}{dx} = x y^{1/2}.$$

b) Mostre que para qualquer valor de c, a função y(x) = \dfrac{c}{x} +1 é uma solução da equação diferencial de primeira ordem $$x \frac{dy}{dx} + y= 1.$$

SOLUÇÃO: Substituindo a função y(x) = \dfrac{c}{x} +1 na equação, obtemos $$x \left( \frac{c}{x} +1\right)^{´} + \left( \frac{c}{x} +1\right) = x \left( – \frac{c}{x^2} \right) + \left( \frac{c}{x} +1\right) = 1.$$

Portanto, para qualquer valor de c, a função y(x) = \dfrac{c}{x} +1 é uma solução da equação diferencial de primeira ordem $$x \frac{dy}{dx} + y= 1.$$

3) a) As equações diferenciais de primeira ordem $$\left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + 1 = 0$$ e $$(y’)^2 + y^2 + 4 = 0$$ não possuem soluções reais. Por quê?

SOLUÇÃO: Note que se ambas as equações tivessem soluções reais, existiriam funções reais y(t) tais que: $$ (y´´)^2 = 1 \;\;\; e \;\;\; (y’)^2 + y^2 = -4,$$ ou seja, existiriam números reais que ao quadrado ou somas de números quadrados de números reais que resultariam em números negativos, o que seria um absurdo.

b) A equação de segunda ordem (y'')^2 + 10y^4 = 0 possui somente uma solução real. Qual?

SOLUÇÃO:Como essa é uma equação homogênea e toda equação homogênea possui ao menos a solução trivial y(t) = 0 , chamada de solução trivial. Esta é a única solução real desta equação.

4) Encontre, de forma empírica, a solução de cada uma das equações diferenciais abaixo:

a) yy' = 0

SOLUÇÃO: yy' = 0 \Rightarrow y(t) = 0\;\;\; ou \;\;\;\;y'(t) = 0 \Rightarrow y(t) = c.

b) y' - y = 0

SOLUÇÃO: y' - y = 0 \Rightarrow y(t) = y'(t).

Ou seja, queremos uma função que seja igual à sua derivada. Portanto,  $$y(t) = e^t$$ é uma solução desta EDO.

c) y'' + y = 0

SOLUÇÃO: y'' + y = 0 \Rightarrow y(t) = - y''(t).

Ou seja, queremos uma função que seja igual à sua segunda derivada. Portanto,  $$y(t) = sen(t)\;\;\;ou\;\;\;y(t) = cos(t)$$ são duas soluções desta EDO.

d) y''-y=0

SOLUÇÃO: y'' - y = 0 \Rightarrow y(t) = y''(t).

Ou seja, queremos uma função que seja igual à sua segunda derivada. Portanto,  $$y(t) = e^t\;\;\;ou\;\;\;y(t) = e^{-t}$$ são duas soluções desta EDO.

e) y' - sec^2 (t) = 0

SOLUÇÃO: y' - sec^2 (t) = 0 \Rightarrow y' = sec^2 (t) \Rightarrow y(t) = \int{sec^2 (t)dt} = tg(t) + c.  Portanto, y(t) = tg(t) + c é a solução geral desta EDO.

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