Séries de Fourier | Ortogonalidade das Funções Seno e Cosseno

Antes de definir a ortogonalidade das funções trigonométricas seno e cosseno é necessário listar três propriedades destas funções que se mostram muito úteis no decorrer dos nossos estudos.

São elas:

1. $$\sin{(x)}\sin{(y)} = \frac{1}{2}\left[ – \cos{(x+y)} + \cos{(x-y)}\right]$$
2. $$\cos{(x)}\cos{(y)} = \frac{1}{2}\left[ \cos{(x+y)} + \cos{(x-y)}\right]$$
3. $$\cos{(x)}\sin{(y)} = \frac{1}{2}\left[ \sin{(x+y)} + \sin{(x-y)}\right]$$

O Produto Interno

Dadas duas funções reais u(x) e v(x) definidas numa mesmo intervalo a \leq x \leq b, definimos o produto interno <u,v> por $$<u,v> = \int\limits_{a}^{b}{u(x)v(x)dx}.$$

EXEMPLO (Produto Interno de Senos)

Vamos calcular o produto interno envolvendo as funções \sin{\left( \frac{m \pi}{L} x \right)} e \cos{\left( \frac{m \pi}{L} x \right)} no intervalo [-L, L]

Considere as funções u(x) = \sin{\left( \frac{m \pi}{L} x \right)} e v(x) = \sin{\left( \frac{n \pi}{L} x \right)}, queremos calcular o produto interno

$$<u,v> = \int\limits_{-L}^{L}{\sin{\left( \frac{m \pi}{L} x \right)} \sin{\left( \frac{n \pi}{L} x \right)} dx}.$$

Antes, vamos analisar o cálculo da integral $$\int{\sin{\left( \alpha x \right)} \sin{\left(\beta x \right)} dx}.$$ Como vamos usar esse cálculo para integrais definidas posteriormente, não irei me preocupar com as constantes de integração.

Se \alpha = \beta, então

$$\int{\sin{\left( \alpha x \right)} \sin{\left(\alpha x \right)} dx} = $$ $$=\int{\sin^2{\left( \alpha x \right)} dx} = $$ $$= \frac{1}{2} \int{\left( 1+ \cos{\left( 2\alpha x \right)} \right) dx} = $$ $$= \frac{x}{2} + \frac{\sin{(2\alpha x)}}{4\alpha}$$

Se \alpha \neq \beta, então

$$\int{\sin{\left( \alpha x \right)} \sin{\left(\alpha x \right)} dx} = $$ $$= \frac{1}{2} \int{\left[\cos{\left[ (\alpha + \beta) x \right]} + \cos{\left[ (\alpha – \beta) x \right]} \right] dx} =$$

$$ = \frac{1}{2}\left[ \frac{\sin{\left[ (\alpha + \beta) x \right]}}{\alpha + \beta} + \frac{\sin{\left[ (\alpha – \beta) x \right]}}{\alpha – \beta} \right]$$

Agora, fazendo, \alpha = \frac{m \pi}{L} e \beta = \frac{n \pi}{L}, temos que $$\alpha = \beta \Leftrightarrow \frac{m \pi}{L} = \frac{n \pi}{L} \Leftrightarrow m = n$$.

Assim,

• Se m = n, então \alpha = \beta e daí, $$<u,v> = \int_{-L}^{L}{\sin^2 \left( \frac{m \pi}{L} x \right) } = $$ $$= \left[ \frac{x}{2} + \frac{\overbrace{\sin{ \left(2 \frac{m \pi}{L} x \right)}}^{que\;\;\; é \;\;\; 0\;\;\;p/\;\;\;x=L\;\;\;ou\;\;\;x=-L\;\;\;}}{4\frac{m \pi}{L}} \right]^{L}_{-L} = L$$.
• Se m \neq n, então \alpha \neq \beta e daí,

\begin{eqnarray*}
<u,v> & = & \frac{1}{2}\left[ \frac{\sin{\left[ \frac{\pi}{L}(m + n) x \right]}}{\frac{\pi}{L}(m + n)} + \frac{\sin{ \left[ \frac{\pi}{L} (m – n) x \right]}}{\frac{\pi}{L}(m – n)} \right] ^{L}_{-L} \\
& = & \frac{1}{2}\left[ \frac{\overbrace{\sin{\left[ \pi(m + n) \right]}}^{=0}}{\frac{\pi}{L}(m + n)} + \frac{\overbrace{\sin{ \left[ \pi(m – n) \right]}}^{=0}}{\frac{\pi}{L}(m – n)} \right] – \frac{1}{2}\left[ \frac{\overbrace{\sin{\left[ -\pi(m + n) \right]}}^{=0}}{\frac{\pi}{L}(m + n)} + \frac{\overbrace{\sin{ \left[ -\pi(m – n) \right]}}^{=0}}{\frac{\pi}{L}(m – n)} \right] \\
& = &  0
\end{eqnarray*}

Portanto,
$$<u,v> = \left\{ \begin{array}{lll}
L &;& m=n\\
0 &;& m \neq n\end{array} \right. $$

EXEMPLO (Produto Interno de Cossenos)

Agora, considere as funções u(x) = \cos{\left( \frac{m \pi}{L} x \right)} e v(x) = \cos{\left( \frac{n \pi}{L} x \right)}.

Por procedimentos análogos ao caso anterior podemos mostrar que, para estas duas funções, o produto interno é

$$<u,v> = \left\{ \begin{array}{lll}
L &;& m=n\\
0 &;& m \neq n\end{array} \right.$$

EXEMPLO (Produto Interno de Senos com Cossenos)

Vamos calcular o produto interno entre as funções u(x) = \sin{\left( \frac{m \pi}{L} x \right)} e v(x) = \cos{\left( \frac{n \pi}{L} x \right)} no intervalo [-L, L]

Temos que $$<u,v> = \int\limits_{-L}^{L}{\sin{\left( \frac{m \pi}{L} x \right)} cos{\left( \frac{n \pi}{L} x \right)} dx}.$$

Primeiramente, vamos solucionar $$\int\limits_{-L}^{L}{\sin{\left( \alpha x \right)} cos{\left( \beta x \right)} dx}$$ sendo \alpha e \beta reais quaisquer.

Pela terceira propriedade trigonométrica

$$\int\limits_{-L}^{L}{\sin{\left( \alpha x \right)} cos{\left( \beta x \right)} dx} = $$

$$\int\limits_{-L}^{L}{\frac{1}{2}\left[ \sin{[(\alpha + \beta)x]} + \sin{[(\alpha – \beta)x]}\right] dx} = $$

$$ = \frac{1}{2}\left[ -\frac{\cos{[(\alpha + \beta)x]}}{\alpha + \beta} – \frac{\cos{[(\alpha – \beta)x]}}{\alpha – \beta} \right]_{-L} ^{L} = $$

$$ = \frac{1}{2}\left[ -\frac{\cos{[(\alpha + \beta)L]}}{\alpha + \beta} – \frac{\cos{[(\alpha – \beta)L]}}{\alpha – \beta} \right] – $$ $$ -\frac{1}{2}\left[ -\frac{\cos{[(\alpha + \beta)(-L)]}}{\alpha + \beta} – \frac{\cos{[(\alpha – \beta)(-L)]}}{\alpha – \beta} \right]. $$

Como a função cosseno é par, ou seja, \cos{-x} = \cos{x}, então

$$\frac{1}{2}\left[ -\frac{\cos{[(\alpha + \beta)L]}}{\alpha + \beta} – \frac{\cos{[(\alpha – \beta)L]}}{\alpha – \beta} \right] – $$ $$-\frac{1}{2}\left[ -\frac{\cos{[(\alpha + \beta)(-L)]}}{\alpha + \beta} – \frac{\cos{[(\alpha – \beta)(-L)]}}{\alpha – \beta} \right] = $$

$$ = \frac{1}{2}\left[ -\frac{\cos{[(\alpha + \beta)L]}}{\alpha + \beta} – \frac{\cos{[(\alpha – \beta)L]}}{\alpha – \beta} \right] – $$ $$-\frac{1}{2}\left[ -\frac{\cos{[(\alpha + \beta)(L)]}}{\alpha + \beta} – \frac{\cos{[(\alpha – \beta)(L)]}}{\alpha – \beta} \right] = 0 $$

Portanto, sendo

$$\alpha = \frac{m \pi}{L}$$ e $$\beta = \frac{n \pi}{L}$$ encontramos $$<u,v> = \int\limits_{-L}^{L}{\sin{\left( \frac{m \pi}{L} x \right)} cos{\left( \frac{n \pi}{L} x \right)} dx} = 0.$$

Funções Ortogonais

Dadas duas funções reais u(x) e v(x) definidas numa mesmo intervalo a \leq x \leq b, elas são ditas ortogonais se produto interno <u,v> for nulo, ou seja, se $$<u,v> = \int\limits_{a}^{b}{u(x)v(x)dx} = 0.$$

Um conjunto de funções é dito um conjunto ortogonal se cada par de funções diferentes pertencentes ao conjunto é ortogonal.

EXEMPLO

As funções u(x) = \sin{\left( \frac{m \pi}{L} x \right)} e v(x) = \sin{\left( \frac{n \pi}{L} x \right)}, são ortogonais se m \neq n.

O mesmo ocorrendo com a funções u(x) = \cos{\left( \frac{m \pi}{L} x \right)} e v(x) = \cos{\left( \frac{n \pi}{L} x \right)}.

Ainda concluímos, então, que u(x) = \sin{\left( \frac{m \pi}{L} x \right)} e v(x) = \cos{\left( \frac{n \pi}{L} x \right)} são funções ortogonais.

EXEMPLO

O conjunto de funções $$\left\{ \sin{\left( \frac{m \pi}{L} x \right)}, \cos{\left( \frac{m \pi}{L} x \right)}; m=1,2,3,4,… \right\}$$ é um conjunto ortogonal de funções, pelos exemplos anteriores.

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