Este artigo apresenta a resolução de vários problemas de valor inicial envolvendo equações diferenciais de diferentes ordens. Utilizamos a Transformada de Laplace e frações parciais para encontrar soluções e analisamos funções delta e convoluções para exercícios complexos, proporcionando uma compreensão abrangente dos métodos aplicados.
Introdução
Abordamos a solução de diversos problemas de valor inicial envolvendo equações diferenciais. Começamos com uma equação diferencial de quarta ordem, utilizando a Transformada de Laplace para derivar a solução com condições iniciais específicas. Em seguida, analisamos uma equação de segunda ordem com uma função delta, aplicando a convolução para encontrar a resposta. Além disso, resolvemos uma equação de segunda ordem com um termo forçado e exploramos como a Transformada de Laplace pode simplificar a resolução de equações diferenciais.
Exercício 1
Encontre a solução do problema de valor inicial $$y^{(4)}-y=0; \qquad y(0) = 0, y'(0) = 1, y”(0) = 0, y”'(0) = 0.$$
Solução: Dada a equação diferencial de quarta ordem com as condições iniciais:
$$ y^{(4)}(t) – y(t) = 0, y(0) = 0, y'(0) = 1, y”(0) = 0, y”'(0) = 0. $$
Sabemos que a Transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
$$ \mathcal{L}\{y^{(n)}(t)\} = s^n Y(s) – s^{n-1}y(0) – s^{n-2}y'(0) – \cdots – y^{(n-1)}(0), $$
Aplicando a Transformada de Laplace em y^{(4)}(t):
$$ \mathcal{L}\{y^{(4)}(t)\} = s^4 Y(s) – s^3 y(0) – s^2 y'(0) – s y”(0) – y”'(0). $$
Substituindo as condições iniciais:
$$ \mathcal{L}\{y^{(4)}(t)\} = s^4 Y(s) – s^2. $$
A Transformada de y(t) é simplesmente:
$$ \mathcal{L}\{y(t)\} = Y(s). $$
Agora, substituímos na equação diferencial:
$$ s^4 Y(s) – s^2 – Y(s) = 0. $$
Rearranjamos a equação para isolar Y(s):
$$ (s^4 – 1) Y(s) = s^2, $$
Logo:
$$ Y(s) = \frac{s^2}{s^4 – 1}. $$
Fatoramos o denominador s^4 - 1 como uma diferença de quadrados:
$$ s^4 – 1 = (s^2 – 1)(s^2 + 1), $$
Portanto:
$$ Y(s) = \frac{s^2}{(s^2 – 1)(s^2 + 1)}. $$
Vamos decompor Y(s) em frações parciais:
$$ \frac{s^2}{(s^2 – 1)(s^2 + 1)} = \frac{A}{s^2 – 1} + \frac{B}{s^2 + 1}. $$
Multiplicando ambos os lados por (s^2 - 1)(s^2 + 1):
$$ s^2 = A(s^2 + 1) + B(s^2 – 1), $$
Expandindo e agrupando termos:
$$ s^2 = A(s^2) + A + B(s^2) – B, $$
Ou seja:
$$ s^2 = (A + B)s^2 + (A – B). $$
Agora, igualamos os coeficientes de s^2 e os termos constantes:
1. A + B = 1
2. A - B = 0
Resolvendo o sistema:
– A = B
– 2A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}
Portanto, a decomposição em frações parciais é:
$$ Y(s) = \frac{1/2}{s^2 – 1} + \frac{1/2}{s^2 + 1}. $$
Para o termo \frac{1/2}{s^2 - 1} :
Sabemos que:
$$ \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^2 – a^2}\right\} = \sinh(at), $$
Portanto:
$$ \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1/2}{s^2 – 1}\right\} = \frac{1}{2} \sinh(t). $$
Para o termo \frac{1/2}{s^2 + 1} :
Sabemos que:
$$ \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^2 + a^2}\right\} = \cos(at), $$
Portanto:
$$ \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1/2}{s^2 + 1}\right\} = \frac{1}{2} \cos(t). $$
Somando os dois termos:
$$ y(t) = \frac{1}{2} \sinh(t) + \frac{1}{2} \cos(t). $$
Essa é a solução do problema de valor inicial.
Exercício 2
Considere o problema de valor inicial $$y”+\frac{1}{3} y + 4y = f_k (t) \qquad y(0) = 0, y'(0) = 0$$ onde $$f_k (t) = \frac{1}{2k}; \text{ se } 4-k \leq t < 4 + k \qquad (0 < k < 4) $$ e f_k (t) = 0 para os demais valores de t . Esboce o gráfico da função f_k e, em seguida, resolva o problema de valor inicial usando a Transformada de Laplace.
Solução: O problema de valor inicial é:
$$ y”(t) + \frac{1}{3} y(t) + 4 y(t) = f_k(t), y(0) = 0, y'(0) = 0, $$
onde a função f_k(t) é definida como:
$$ f_k(t) = \frac{1}{2k}, \text{ se } 4-k \leq t < 4+k (0 < k < 4), $$
e
$$ f_k(t) = 0 \text{ para os demais valores de } t. $$
Aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Sabemos que:
$$ \mathcal{L}\{y”(t)\} = s^2 Y(s) – s y(0) – y'(0), $$
Substituindo as condições iniciais y(0) = 0 e y'(0) = 0 :
$$ \mathcal{L}\{y”(t)\} = s^2 Y(s). $$
Agora, a Transformada de Laplace de \frac{1}{3} y(t) é:
$$ \mathcal{L}\left\{\frac{1}{3} y(t)\right\} = \frac{1}{3} Y(s), $$
e a Transformada de 4y(t) é:
$$ \mathcal{L}\{4 y(t)\} = 4 Y(s). $$
Portanto, a equação no domínio de Laplace é:
$$ s^2 Y(s) + \frac{1}{3} Y(s) + 4 Y(s) = \mathcal{L}\{f_k(t)\}. $$
A função f_k(t) é definida por partes, com valor \frac{1}{2k} no intervalo [4-k, 4+k] e zero fora desse intervalo. A Transformada de Laplace de f_k(t) é dada por:
$$ \mathcal{L}\{f_k(t)\} = \int_{4-k}^{4+k} \frac{1}{2k} e^{-st} dt. $$
Fatoramos o termo constante \frac{1}{2k} :
$$ \mathcal{L}\{f_k(t)\} = \frac{1}{2k} \int_{4-k}^{4+k} e^{-st} dt. $$
Agora, resolvemos a integral:
$$ \int e^{-st} dt = \frac{e^{-st}}{-s}. $$
Substituindo os limites 4-k e 4+k , obtemos:
$$ \mathcal{L}\{f_k(t)\} = \frac{1}{2k} \left( \frac{e^{-s(4+k)} – e^{-s(4-k)}}{-s} \right), $$
ou:
$$ \mathcal{L}\{f_k(t)\} = \frac{1}{2k} \cdot \frac{e^{-s(4-k)} – e^{-s(4+k)}}{s}. $$
Substituímos \mathcal{L}\{f_k(t)\} na equação diferencial transformada:
$$ s^2 Y(s) + \frac{1}{3} Y(s) + 4 Y(s) = \frac{1}{2k} \cdot \frac{e^{-s(4-k)} – e^{-s(4+k)}}{s}. $$
Agrupando os termos de Y(s) :
$$ Y(s) \left( s^2 + \frac{1}{3} + 4 \right) = \frac{1}{2k} \cdot \frac{e^{-s(4-k)} – e^{-s(4+k)}}{s}. $$
Simplificando o lado esquerdo:
$$ Y(s) \left( s^2 + \frac{13}{3} \right) = \frac{1}{2k} \cdot \frac{e^{-s(4-k)} – e^{-s(4+k)}}{s}. $$
Agora, isolamos Y(s) :
$$ Y(s) = \frac{1}{2k} \cdot \frac{e^{-s(4-k)} – e^{-s(4+k)}}{s \left( s^2 + \frac{13}{3} \right)}. $$
Agora, aplicamos frações parciais para decompor \frac{1}{s(s^2 + \frac{13}{3})} . Consideramos a seguinte decomposição:
$$ \frac{1}{s(s^2 + \frac{13}{3})} = \frac{A}{s} + \frac{Bs + C}{s^2 + \frac{13}{3}}. $$
Multiplicamos ambos os lados por s(s^2 + \frac{13}{3}) e obtemos:
$$ 1 = A(s^2 + \frac{13}{3}) + (Bs + C)s. $$
Expandindo e agrupando os termos:
$$ 1 = A s^2 + \frac{13}{3} A + B s^2 + C s. $$
Agora, agrupamos os coeficientes de s^2 , s e os termos constantes:
1. A + B = 0 (coeficiente de s^2 )
2. C = 0 (coeficiente de s )
3. \frac{13}{3} A = 1 (termo constante)
Resolvendo o sistema:
$$ A = \frac{3}{13}, B = -\frac{3}{13}, C = 0. $$
Portanto, a decomposição é:
$$ \frac{1}{s(s^2 + \frac{13}{3})} = \frac{3}{13} \cdot \frac{1}{s} – \frac{3}{13} \cdot \frac{s}{s^2 + \frac{13}{3}}. $$
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace a cada termo. Sabemos que:
$$ \mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{1}{s} \right\} = 1, $$
e
$$ \mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{s}{s^2 + a^2} \right\} = \cos(at). $$
No nosso caso, a = \sqrt{\frac{13}{3}} . Portanto:
$$ \mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{3}{13} \cdot \frac{1}{s} \right\} = \frac{3}{13}, $$
e
$$ \mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{3}{13} \cdot \frac{s}{s^2 + \frac{13}{3}} \right\} = \frac{3}{13} \cos\left( \sqrt{\frac{13}{3}} t \right). $$
Agora, aplicamos o fator e^{-s(4-k)} , que corresponde a uma translação no tempo. A Transformada Inversa de \frac{e^{-s(4-k)}}{s(s^2 + \frac{13}{3})} é:
$$ \left( \frac{3}{13} – \frac{3}{13} \cos\left( \sqrt{\frac{13}{3}} (t – (4-k)) \right) \right) u(t – (4-k)). $$
De forma similar, a Transformada Inversa de \frac{e^{-s(4+k)}}{s(s^2 + \frac{13}{3})} é:
$$ \left( \frac{3}{13} – \frac{3}{13} \cos\left( \sqrt{\frac{13}{3}} (t – (4+k)) \right) \right) u(t – (4+k)). $$
Agora, combinamos os dois termos para obter a solução final para y(t) :
$$ y(t) = \frac{1}{2k} \left[ \left( \frac{3}{13} – \frac{3}{13} \cos\left( \sqrt{\frac{13}{3}} (t – (4-k)) \right) \right) u(t – (4-k)) – \left( \frac{3}{13} – \frac{3}{13} \cos\left( \sqrt{\frac{13}{3}} (t – (4+k)) \right) \right) u(t – (4+k)) \right]. $$
Podemos simplificar a solução, fatorando \frac{3}{13} :
$$ y(t) = \frac{3}{26k} \left[ \left( 1 – \cos\left( \sqrt{\frac{13}{3}} (t – (4-k)) \right) \right) u(t – (4-k)) – \left( 1 – \cos\left( \sqrt{\frac{13}{3}} (t – (4+k)) \right) \right) u(t – (4+k)) \right]. $$
Essa é a solução completa e simplificada.
Exercício 3
Supondo que f(t) seja uma função que admita Transformada de Laplace, encontre a solução do P.V.I. $$y”+ 0,1 y’ + y = f(t); \qquad y(0)=0, y'(0) = 0.$$
Aplicamos a Transformada de Laplace a ambos os lados da equação diferencial. Sabemos que: \mathcal{L}\{y'(t)\} = s Y(s) - y(0), \mathcal{L}\{y''(t)\} = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0).
Substituindo as condições iniciais y(0) = 0 e y'(0) = 0 : \mathcal{L}\{y'(t)\} = s Y(s), \mathcal{L}\{y''(t)\} = s^2 Y(s).
Aplicando a Transformada de Laplace na equação: s^2 Y(s) + 0,1 s Y(s) + Y(s) = \mathcal{L}\{f(t)\}.
Fatoramos Y(s) na equação: Y(s) \left( s^2 + 0,1 s + 1 \right) = \mathcal{L}\{f(t)\}.
Isolando Y(s) : Y(s) = \frac{\mathcal{L}\{f(t)\}}{s^2 + 0,1 s + 1}.
Escrevemos o lado direito como o produto de duas funções no domínio de Laplace: Y(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} \cdot \frac{1}{s^2 + 0,1 s + 1}.
Para encontrar a Transformada Inversa de \frac{1}{s^2 + 0,1 s + 1} , completamos o quadrado: s^2 + 0,1 s + 1 = \left( s + \frac{0,1}{2} \right)^2 + 0,9975.
Sabemos que a Transformada Inversa de \frac{1}{(s+a)^2 + b^2} é: \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{(s + a)^2 + b^2} \right\} = e^{-at} \sin(bt).
Aqui, a = 0,05 e b = \sqrt{0,9975} . Logo: g(t) = e^{-0,05 t} \sin\left( \sqrt{0,9975} t \right).
A solução no domínio do tempo y(t) é dada pela convolução entre f(t) e g(t) : y(t) = (f * g)(t) = \int_0^t f(\tau) g(t - \tau) \, d\tau.
Substituímos g(t - \tau) : y(t) = \int_0^t f(\tau) e^{-0,05 (t - \tau)} \sin\left( \sqrt{0,9975} (t - \tau) \right) \, d\tau.
Essa é a solução geral do problema de valor inicial.
Exercício 4
Resolva $$ y” + 2y’ +5y = u(t-2) cos(3t); \qquad y(0) = 1, y'(0) = 0.$$
Aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Sabemos que as Transformadas de Laplace das derivadas são:
$$ \mathcal{L}\{y'(t)\} = s Y(s) – y(0), $$
$$ \mathcal{L}\{y”(t)\} = s^2 Y(s) – s y(0) – y'(0). $$
Substituindo as condições iniciais y(0) = 1 e y'(0) = 0 :
$$ \mathcal{L}\{y'(t)\} = s Y(s) – 1, $$
$$ \mathcal{L}\{y”(t)\} = s^2 Y(s) – s. $$
Agora, aplicamos isso à equação diferencial:
$$ (s^2 Y(s) – s) + 2(s Y(s) – 1) + 5 Y(s) = \mathcal{L}\{u(t – 2) \cos(3t)\}. $$
Expandindo e organizando os termos da equação:
$$ s^2 Y(s) – s + 2s Y(s) – 2 + 5 Y(s) = \mathcal{L}\{u(t – 2) \cos(3t)\}. $$
Agrupando os termos de Y(s) :
$$ (s^2 + 2s + 5) Y(s) = \mathcal{L}\{u(t – 2) \cos(3t)\} + s + 2. $$
Usamos a definição da Transformada de Laplace para calcular a Transformada de u(t - 2) \cos(3t) :
$$ \mathcal{L}\{u(t – 2) \cos(3t)\} = \int_2^\infty e^{-st} \cos(3t) \, dt. $$
Resolvendo a integral:
$$ \int e^{-st} \cos(3t) \, dt = \frac{e^{-st}(-s \cos(3t) + 3 \sin(3t))}{s^2 + 9}. $$
Aplicando os limites de integração:
$$ \left[ \frac{e^{-st}(-s \cos(3t) + 3 \sin(3t))}{s^2 + 9} \right]_2^\infty = \frac{e^{-2s}(-s \cos(6) + 3 \sin(6))}{s^2 + 9}. $$
Portanto, a Transformada de Laplace de u(t - 2) \cos(3t) é:
$$ \mathcal{L}\{u(t – 2) \cos(3t)\} = \frac{e^{-2s}(-s \cos(6) + 3 \sin(6))}{s^2 + 9}. $$
Agora, substituímos essa Transformada na equação para Y(s) :
$$ (s^2 + 2s + 5) Y(s) = \frac{e^{-2s}(-s \cos(6) + 3 \sin(6))}{s^2 + 9} + s + 2. $$
Isolando Y(s) :
$$ Y(s) = \frac{\frac{e^{-2s}(-s \cos(6) + 3 \sin(6))}{s^2 + 9} + s + 2}{s^2 + 2s + 5}. $$
Agora, podemos separar as frações de Y(s) :
$$ Y(s) = \frac{e^{-2s}(-s \cos(6) + 3 \sin(6))}{(s^2 + 9)(s^2 + 2s + 5)} + \frac{s^3 + 2s^2 + 9s + 18}{(s^2 + 9)(s^2 + 2s + 5)}. $$
Como
$$
s^3 + 2s^2 + 9s + 18 = (s + 2)(s^2 + 9).
$$
Agora, podemos reescrever a fração:
$$
\frac{s^3 + 2s^2 + 9s + 18}{(s^2 + 9)(s^2 + 2s + 5)} = \frac{(s + 2)(s^2 + 9)}{(s^2 + 9)(s^2 + 2s + 5)}.
$$
O termo s^2 + 9 pode ser cancelado, resultando em:
$$
\frac{s + 2}{s^2 + 2s + 5}.
$$
Portanto, a fração simplificada é:
$$
\frac{s + 2}{s^2 + 2s + 5}.
$$
Ou seja
$$ Y(s) = \frac{e^{-2s}(-s \cos(6) + 3 \sin(6))}{(s^2 + 9)(s^2 + 2s + 5)} + \frac{s^3 + 2s^2 + 9s + 18}{(s^2 + 9)(s^2 + 2s + 5)} = \frac{e^{-2s}(-s \cos(6) + 3 \sin(6))}{(s^2 + 9)(s^2 + 2s + 5)} + \frac{s + 2}{s^2 + 2s + 5}$$
Para encontrar a Transformada Inversa de
$$ Y(s) = \frac{s + 2}{s^2 + 2s + 5}, $$
vamos seguir alguns passos.
Primeiro, vamos reescrever o denominador s^2 + 2s + 5 completando o quadrado:
$$ s^2 + 2s + 5 = (s + 1)^2 + 4. $$
Podemos reescrever a fração:
$$G(s) = \frac{s + 1 + 1}{(s + 1)^2 + 4} = \frac{s + 1}{(s + 1)^2 + 4} + \frac{1}{(s + 1)^2 + 4}. $$
Agora, podemos encontrar as Transformadas Inversas separadamente:
1. Para o primeiro termo \frac{s + 1}{(s + 1)^2 + 4} :
– Sabemos que a Transformada Inversa é:
$$ \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s + a}{(s + a)^2 + b^2}\right\} = e^{-at} \cos(bt). $$
No nosso caso, a = 1 e b = 2 .
Portanto:
$$ \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s + 1}{(s + 1)^2 + 4}\right\} = e^{-t} \cos(2t). $$
2. Para o segundo termo \frac{1}{(s + 1)^2 + 4} :
– A Transformada Inversa é:
$$ \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{b}{(s + a)^2 + b^2}\right\} = e^{-at} \frac{1}{b} \sin(bt). $$
No nosso caso, a = 1 e b = 2 .
Portanto:
$$ \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s + 1)^2 + 4}\right\} = \frac{1}{2} e^{-t} \sin(2t). $$
Agora, juntamos as Transformadas Inversas dos dois termos:
$$ g(t) = e^{-t} \cos(2t) + \frac{1}{2} e^{-t} \sin(2t). $$
Assim, a Transformada Inversa de \frac{s + 2}{s^2 + 2s + 5} é:
$$ g(t) = e^{-t} \cos(2t) + \frac{1}{2} e^{-t} \sin(2t). $$
Se precisar de mais alguma coisa ou quiser discutir mais detalhes, é só avisar!
Para calcular a Transformada Inversa de
$$ F(s) = \frac{e^{-2s}(-s \cos(6) + 3 \sin(6))}{(s^2 + 9)(s^2 + 2s + 5)}, $$
podemos usar o Teorema da Translação e as propriedades das Transformadas Inversas.
Primeiro, observe que a expressão tem o fator e^{-2s} , que indica um deslocamento no tempo. Quando temos e^{-as} F(s) , a Transformada Inversa se torna:
$$ \mathcal{L}^{-1}\{e^{-as} F(s)\} = u(t – a) f(t – a), $$
onde f(t) é a Transformada Inversa de F(s) .
Precisamos primeiro encontrar a Transformada Inversa de
$$ \frac{-s \cos(6) + 3 \sin(6)}{(s^2 + 9)(s^2 + 2s + 5)}. $$
Vamos escrever isso como a soma de duas frações parciais:
$$ \frac{-s \cos(6) + 3 \sin(6)}{(s^2 + 9)(s^2 + 2s + 5)} = \frac{As + B}{s^2 + 9} + \frac{Cs + D}{s^2 + 2s + 5}, $$
onde A , B , C , e D são constantes que precisamos determinar.
Ao expandir e agrupar os termos, obtemos:
1. Para s^3 : A + C = 0 (1)
2. Para s^2 : 2A + B + D = 0 (2)
3. Para s^1 : 5A + 2B + 9C = -\cos(6) (3)
4. Para s^0 : 5B + 9D = 3\sin(6) (4)
Agora, vamos resolver esse sistema de equações.
Da equação (1):
$$ C = -A. $$
Substituindo C nas equações (3) e (4):
$$ 5A + 2B + 9(-A) = -\cos(6), $$
que se torna:
$$ -4A + 2B = -\cos(6). $$
Isso pode ser reorganizado como:
$$ 2B – 4A = -\cos(6) (5). $$
$$ 2A + B + D = 0. $$
Esta permanece a mesma.
Agora temos o seguinte sistema:
1. 2B - 4A = -\cos(6) (5)
2. 2A + B + D = 0 (2)
Expressamos B em termos de A :
$$ 2B = 4A – \cos(6) \Rightarrow B = 2A – \frac{\cos(6)}{2} (6). $$
Substituímos B na equação (2):
$$ 2A + \left(2A – \frac{\cos(6)}{2}\right) + D = 0. $$
Isso se torna:
$$ 4A – \frac{\cos(6)}{2} + D = 0. $$
Reorganizando, obtemos:
$$ D = -4A + \frac{\cos(6)}{2} (7). $$
Agora substituímos B e D na equação (4):
$$ 5\left(2A – \frac{\cos(6)}{2}\right) + 9\left(-4A + \frac{\cos(6)}{2}\right) = 3\sin(6). $$
Expandindo, obtemos:
$$ 10A – \frac{5\cos(6)}{2} – 36A + \frac{9\cos(6)}{2} = 3\sin(6). $$
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Juntando os termos semelhantes:
$$ (10A – 36A) + \left(-\frac{5\cos(6)}{2} + \frac{9\cos(6)}{2}\right) = 3\sin(6). $$
Simplificando, temos:
$$ -26A + 2\cos(6) = 3\sin(6). $$
Isolamos A :
$$ -26A = 3\sin(6) – 2\cos(6) \Rightarrow A = -\frac{3\sin(6) – 2\cos(6)}{26}. $$
Agora, substituímos o valor de A nas equações (6) e (7):
$$ B = 2\left(-\frac{3\sin(6) – 2\cos(6)}{26}\right) – \frac{\cos(6)}{2}. $$
Isso se torna:
$$ B = -\frac{6\sin(6) – 4\cos(6)}{26} – \frac{13\cos(6)}{26} = -\frac{6\sin(6) – 4\cos(6) – 13\cos(6)}{26} = -\frac{6\sin(6) – 17\cos(6)}{26}. $$
Substituindo A na equação (7):
$$ D = -4\left(-\frac{3\sin(6) – 2\cos(6)}{26}\right) + \frac{\cos(6)}{2}. $$
Isso se torna:
$$ D = \frac{12\sin(6) – 8\cos(6)}{26} + \frac{13\cos(6)}{26} = \frac{12\sin(6) – 8\cos(6) + 13\cos(6)}{26} = \frac{12\sin(6) + 5\cos(6)}{26}. $$
Agora, temos os coeficientes:
1. A = -\frac{3\sin(6) - 2\cos(6)}{26}
2. B = -\frac{6\sin(6) - 17\cos(6)}{26}
3. C = \frac{3\sin(6) - 2\cos(6)}{26}
4. D = \frac{12\sin(6) + 5\cos(6)}{26}
Agora, para cada termo na fração, vamos calcular as Transformadas Inversas.
A Transformada Inversa de
$$ \frac{As + B}{s^2 + 9} $$
é dada por:
$$ \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s}{s^2 + 9}\right\} = \cos(3t) $$
e
$$ \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^2 + 9}\right\} = \frac{1}{3} \sin(3t). $$
Portanto, a Transformada Inversa do primeiro termo será:
$$ F_1(t) = A \cos(3t) + \frac{B}{3} \sin(3t). $$
Substituindo A e B :
$$ F_1(t) = -\frac{3\sin(6) – 2\cos(6)}{26} \cos(3t) – \frac{(6\sin(6) – 17\cos(6))}{78} \sin(3t). $$
A Transformada Inversa de
$$ \frac{Cs + D}{s^2 + 2s + 5} $$
também é fácil de encontrar. Como reescrevemos s^2 + 2s + 5 como (s + 1)^2 + 4 , as Transformadas Inversas são:
$$ \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s + 1}{(s + 1)^2 + 4}\right\} = e^{-t} \cos(2t) $$
e
$$ \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s + 1)^2 + 4}\right\} = \frac{1}{2} e^{-t} \sin(2t). $$
Assim, a Transformada Inversa do segundo termo será:
$$ F_2(t) = C e^{-t} \cos(2t) + \frac{D}{2} e^{-t} \sin(2t). $$
Substituindo C e D :
$$ F_2(t) = \frac{3\sin(6) – 2\cos(6)}{26} e^{-t} \cos(2t) + \frac{(12\sin(6) + 5\cos(6))}{52} e^{-t} \sin(2t). $$
A Transformada Inversa completa é dada por:
$$ f(t) = u(t – 2) \left( F_1(t – 2) + F_2(t – 2) \right). $$
A Transformada Inversa de Laplace f(t) está agora expressa em termos das funções conhecidas.
Assim $$y(t) = g(t)+f(t) = e^{-t} \cos(2t) + \frac{1}{2} e^{-t} \sin(2t) + e^{-t} \cos(2t) + u(t – 2) \left( F_1(t – 2) + F_2(t – 2) \right) $$ onde $$ F_1(t) = -\frac{3\sin(6) – 2\cos(6)}{26} \cos(3t) – \frac{(6\sin(6) – 17\cos(6))}{78} \sin(3t)$$ e $$ F_2(t) = \frac{3\sin(6) – 2\cos(6)}{26} e^{-t} \cos(2t) + \frac{(12\sin(6) + 5\cos(6))}{52} e^{-t} \sin(2t). $$
Exercício 5
Resolva $$ y’ + y = \delta (t-2) ; \qquad y(0) = 0.$$
Aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Usamos a propriedade de que a Transformada de Laplace de uma derivada é:
$$ \mathcal{L}\{y’\} = sY(s) – y(0). $$
Substituindo y(0) = 0 :
$$ \mathcal{L}\{y’\} = sY(s). $$
Agora, a equação se torna:
$$ sY(s) + Y(s) = \mathcal{L}\{\delta(t – 2)\}. $$
Sabemos que:
$$ \mathcal{L}\{\delta(t – a)\} = e^{-as}. $$
Portanto, para a = 2 :
$$ \mathcal{L}\{\delta(t – 2)\} = e^{-2s}. $$
Substituindo na equação, temos:
$$ sY(s) + Y(s) = e^{-2s}. $$
Fatorando Y(s) :
$$ (s + 1)Y(s) = e^{-2s}. $$
Assim, isolamos Y(s) :
$$ Y(s) = \frac{e^{-2s}}{s + 1}. $$
Agora precisamos calcular a Transformada Inversa de Laplace de Y(s) :
$$ Y(s) = e^{-2s} \cdot \frac{1}{s + 1}. $$
Usando o Teorema da Translação:
$$ \mathcal{L}^{-1}\{e^{-as} F(s)\} = u(t – a) f(t – a), $$
onde f(t) é a Transformada Inversa de F(s) .
Aqui, temos a = 2 e F(s) = \frac{1}{s + 1} , cuja Transformada Inversa é:
$$ \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s + 1}\right\} = e^{-t}. $$
Portanto, aplicando o Teorema da Translação:
$$ y(t) = u(t – 2) e^{-(t – 2)} = u(t – 2) e^{2 – t}. $$
Assim, a solução da equação diferencial é:
$$ y(t) = u(t – 2) e^{2 – t}. $$
Conclusão
Concluímos que a Transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa na resolução de equações diferenciais, permitindo a simplificação de problemas complexos. Através de frações parciais e técnicas de convolução, conseguimos obter soluções efetivas para problemas de valor inicial, demonstrando sua eficácia e aplicabilidade.
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