E.D.O.’s de 1ª Ordem Lineares e Homogêneas – Lista de Exercícios de Cálculo 3

Este artigo aborda Equações Diferenciais Ordinárias (E.D.O.’s) de 1ª Ordem Lineares e Homogêneas, oferecendo uma lista de exercícios para Cálculo 3. Explorando técnicas de solução e teoremas fundamentais, o texto é um recurso valioso para estudantes e entusiastas da matemática.

Introdução

As Equações Diferenciais Ordinárias (E.D.O.’s) de 1ª Ordem Lineares e Homogêneas são fundamentais no estudo avançado da matemática, especialmente em Cálculo 3. Este artigo apresenta uma lista de exercícios cuidadosamente elaborada, destinada a aprofundar a compreensão e habilidade dos estudantes neste tópico complexo.

As E.D.O.’s lineares são caracterizadas por coeficientes que dependem apenas da variável independente, com a variável dependente e suas derivadas elevadas à primeira potência. Por outro lado, as E.D.O.’s homogêneas são definidas por funções homogêneas de mesmo grau em seus termos.

Através de exemplos práticos e exercícios resolvidos, exploramos o teorema da existência e unicidade, que garante soluções sob condições específicas. Além disso, discutimos métodos de solução, como a substituição algébrica, que transforma equações homogêneas em separáveis.

Este artigo não apenas fornece uma lista de exercícios, mas também oferece insights teóricos e técnicas de solução, tornando-o um recurso indispensável para quem busca dominar as E.D.O.’s de 1ª Ordem Lineares e Homogêneas.

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Fundamentação Teórica das E.D.O.’s Lineares e Homogêneas

E.D.O. Linear de 1ª Ordem

Um equação diferencial ordinária de primeira ordem linear tem a forma $$ y’ + a(t) y = b(t). $$ Uma fórmula para resolver este tipo de equação é dada pelos passos:

1) Encontre p(t) = \int{a(t)}dt;

2) Multiplique a equação y' + a(t) y = b(t) por e^{p(t)}, que fica e^{p(t)} y' + e^{p(t)} a(t) y = e^{p(t)} b(t); e

3) observe que \left( e^{p(t)} y \right)' = e^{p(t)} y' + e^{p(t)} a(t) y = e^{p(t)} b(t). Logo, \left( e^{p(t)} y \right) = \int{e^{p(t)} b(t)}dt

E.D.O. Homogênea de 1ª Ordem

Uma equação diferencial na forma $$M(x,y)dx + N(x,y) dy =0$$ é chamada de homogênea se ambos os coeficientes M e N são funções homogêneas do mesmo grau. De acordo com esta definição, uma equação na forma M(x,y)dx + N(x,y) dy =0 é homogênea se $$ M(tx,ty) = t^n M(x,y) \qquad e \qquad N(tx,ty) = t^n N(x,y).$$ Uma equação diferencial homogênea pode ser resolvida por meio de uma substituição algébrica.

Especificamente, a substituição y = u x ou x = v y , em que u e v são as novas variáveis independentes, e elas serão transformadas em EDOs separáveis, onde $$dy = u dx + x du$$ no primeiro caso e $$ dx = v dy + y dv, $$ no segundo caso. Ou seja, equações homogêneas são aquelas que podem ser escritas em termos da razão \dfrac{y}{x} e com isso se tornam equações separáveis.

Lista de Exercícios Sobre E.D.O.’s de 1ª Ordem Lineares e Homogêneas

A) Resolva as equações lineares abaixo:

1. y' - y = e^{2x} ;
2. xy' + y +4 = 0 ;
3. xy' + y = \text{sen}(x) ;
4. y' + y \text{tan}(x) = \text{sen}(2x) ;

B) Resolva a equação diferencial homogênea de 1ª Ordem: $$ 2xyy’-y^2+x^2 = 0.$$

Conclusão

Em resumo, este artigo sobre E.D.O.’s de 1ª Ordem Lineares e Homogêneas é uma ferramenta essencial para estudantes de Cálculo 3. Ele não só fornece uma lista abrangente de exercícios, mas também mergulha profundamente nos aspectos teóricos e práticos das equações diferenciais.

A habilidade de resolver tais equações é crucial para o avanço em matemática e ciências aplicadas. Este recurso educacional, com sua abordagem técnica e objetiva, é um excelente meio para desenvolver uma compreensão sólida e habilidades práticas em um dos tópicos mais desafiadores e fascinantes da matemática.

Pratique a solução de equações diferenciais separáveis com as listas de exercícios abaixo:

• EDO’s Homogêneas de 1ª Ordem | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
• EDO’s Homogêneas de 1ª Ordem | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
• EDO’s Lineares – 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
• EDO’s Lineares – 2ª Lista de Exercícios Resolvidos

Livros indicados para o estudo das equações diferenciais separáveis:

Abaixo seguem os livros que te permitirão aprofundar os fundamentos e exemplos para dominar o conceito das equações diferenciais ordinárias separáveis. Basta clicar nos links em azul para ser redirecionado para a página do livro.

1. GUIDORIZZI, H.L. Um curso de cálculo: Vol 1, 2,3 e 4. Rio de Janeiro: LTC, 2001.
2. BOYCE, W.; DIPRIMA R. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno, LTC, Rio de Janeiro,2002
3. BRAUN, M. Equações Diferenciais e suas Aplicações, Editora Campus, Rio de Janeiro, 1979.
4. KREYSZIG, E. Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Song, Inc., 8th Edition, 1999.

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