Domine o cálculo do domínio de funções com esta seleção de exercícios resolvidos. Aqui você encontra explicações claras sobre frações, radicais, raízes cúbicas e questões de vestibular, tudo organizado de forma objetiva e prática.
Introdução
O estudo do domínio de uma função é um dos pilares da Análise Matemática e aparece com frequência em provas, avaliações escolares e concursos. Antes mesmo de calcular valores, gráficos ou limites, é essencial identificar para quais valores de uma função está corretamente definida. Frações, radicais, funções polinomiais, raízes cúbicas e expressões racionais exigem cuidados diferentes — cada tipo traz suas próprias restrições, como evitar divisões por zero, manter radicais de índice par com argumentos não negativos e analisar fatores que anulam denominadores.
Nesta lista, você encontrará uma sequência progressiva de exercícios resolvidos que exploram situações clássicas: funções racionais, radicais, raízes cúbicas, funções definidas em conjuntos específicos e aplicações diretas em problemas de concursos, como a questão da UFV-MG. Cada resolução está detalhada passo a passo para que você compreenda não apenas o resultado, mas o raciocínio por trás da determinação do domínio. Se você está estudando para reforçar seus fundamentos ou para melhorar seu desempenho em vestibulares e provas, este material foi preparado para fortalecer seu entendimento do tema de forma clara e objetiva.
Lista de Exercícios Resolvidos Sobre Funções Reais
Exercício 1: Determine o domínio da função \( f(x) = \frac{1}{x} \).
Solução: A expressão \( \frac{1}{x} \) só é definida quando \( x \neq 0 \). Assim, o domínio é: \[ D(f) = \mathbb{R} – \{0\} \]
Exercício 2: Determine o domínio da função \( f(x) = \frac{x – 2}{x + 5} \).
Solução: A divisão por zero ocorre quando \( x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5 \). Logo, o domínio é: \[ D(f) = \mathbb{R} – \{-5\} \]
Exercício 3: Determine o domínio de \( f(x) = \frac{1}{x^2 – 6x + 5} \).
Solução: Resolver onde o denominador é zero:
\[
x^2 – 6x + 5 = 0
\]
\[
\Delta = 36 – 20 = 16
\]
\[
x = \frac{6 \pm 4}{2} \Rightarrow x = 1 \text{ ou } x = 5
\]
O domínio exclui esses valores:
\[
D(f) = \mathbb{R} – \{1,5\}
\]
Exercício 4: Determine o domínio de \( f(x) = \sqrt{3 – x} \).
Solução: Radicais de índice par exigem argumento não negativo:
\[
3 – x \ge 0 \Rightarrow x \le 3
\]
Logo:
\[
D(f) = (-\infty,3]
\]
Exercício 5: Determine o domínio da função
\[
f(x) = \frac{1}{x + 5} + \frac{-1}{x^2 – 4}.
\]
Solução: Restrições:
\[
x + 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq -5
\]
\[
x^2 – 4 \neq 0 \Rightarrow (x-2)(x+2) \neq 0 \Rightarrow x \neq 2,\; x \neq -2
\]
Assim:
\[
D(f) = \mathbb{R} – \{-5,-2,2\}
\]
Exercício 6: Determine o domínio de: \[ f(x)=\frac{\sqrt{7 – x}}{\sqrt{x – 2}}. \]
Solução
Condições:
\[
7 – x \ge 0 \Rightarrow x \le 7
\]
\[
x – 2 > 0 \Rightarrow x > 2
\]
Portanto:
\[
D(f) = (2,7]
\]
Exercício 7:
Determine o domínio de: \[ f(x)=\frac{3x}{\sqrt[3]{8x – 16}}. \]
Solução
A raiz cúbica é definida para todos os reais, exceto quando o denominador é zero:
\[
8x – 16 = 0 \Rightarrow x = 2
\]
\[
D(f)=\mathbb{R}-\{2\}
\]
Exercício 8 (UFV-MG): O domínio da função \[ f(x) = \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt[3]{1 – x^2}} \] é o conjunto de todos os \(x\) tais que:
Opções:
- \(\{ x \in \mathbb{R}\mid -1 \le x \le 1 \}\)
- \(\{ x \in \mathbb{R}\mid x>1 \text{ ou } x<-1 \}\)
- \(\{ x \in \mathbb{R}\mid x\neq -1, x\neq 1 \}\)
- \(\{ x \in \mathbb{R} \mid x \ge -1,\; x \neq 1 \}\)
- \(\{ x \in \mathbb{R}\mid x>-1 \}\)
Solução:
\[
x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1
\]
A raiz cúbica não restringe (mas não pode zerar o denominador):
\[
1 – x^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 1
\]
Com \(x \ge -1\), resta excluir apenas \(x=1\).
\[
D = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \ge -1,\; x \neq 1 \}
\]
A alternativa correspondente é **(d)**.
Exercício 9: Dada a função f(x) = 1 + x+x^2 de domínio \[ D=\{-2,-1,0,1,2\}, \] determine o conjunto imagem.
Alternativas:
- \(\{-5, 1\}\)
- \(\{-5,-1,1\}\)
- \(\{-1,1\}\)
- \(\{-5,-1\}\)
- \(\{5,-1,1\}\)
Solução
Calculando:
\[
\begin{aligned}
f(-2) &= 1 + 2 – 4 = -1,\\
f(-1) &= 1 + 1 – 1 = 1,\\
f(0) &= 1 – 0 – 0 = -1,\\
f(1) &= 1 – 1 – 1 = -1,\\
f(2) &= 1 – 2 – 4 = -5.
\end{aligned}
\]
Logo, a imagem é:
\[
\{-5,-1,1\}
\]
Resposta correta: Letra B.
Exercício 10: Assinale a alternativa falsa:
- \((\frac{2}{3}, -3)\) é representado no 4º quadrante.
- \((-3,\frac{1}{4})\) é representado no 2º quadrante.
- \((7,0)\) é representado no eixo \(x\).
- \((0,-2)\) é representado no eixo \(y\).
- \((0,5)\) é representado no eixo \(x\).
Solução
O ponto \((0,5)\) pertence ao eixo \(y\), não ao eixo \(x\).
Portanto, essa é a alternativa falsa.
Resposta: Letra D.
Exercício 11: Dadas as relações entre conjuntos: \(A=\{1,3,5,7\}\) e \(B=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\).
Qual das fórmulas define uma função de \(A\) em \(B\)?
- \(y = 2x\)
- \(y = x – 1\)
- \(y = x^2 -1\)
- \(y = x + 1\)
- \(y = 2x – 4\)
Solução
A única que leva todos os elementos de \(A\) para valores contidos em \(B\) é:
\[
y = x + 1
\]
Resposta: Letra D.
Exercício 12: Seja \( f(x) = 3x – 1 \), cujo domínio é \[ D=\{1,2,3\}. \] Determine o conjunto imagem.
- \(\{2,6,8\}\)
- \(\{0,2,6\}\)
- \(\{2,5,7\}\)
- \(\{2,5,8\}\)
- \(\{0,1,3\}\)
Solução
\[
\begin{aligned}
f(1)&=2,\\
f(2)&=5,\\
f(3)&=8.
\end{aligned}
\]
Imagem = \(\{2,5,8\}\). Resposta: Letra D.
Exercício 13: O domínio da função \( f(x)=2-x \), cuja imagem é \[\text{IM}=\{-1,0,1,2\},\] é:
- \(\{-1,0,1,2\}\)
- \(\{-1,0,1,2,3\}\)
- \(\{-1,0,1\}\)
- \(\{0,1,2\}\)
- \(\{0,1,2,3\}\)
Solução
Apoie Nosso Trabalho:
Apoie nosso trabalho fazendo um pix de qualquer valor: Chave Pix: 06713646697
Se \( y = 2 – x \), então \( x = 2 – y \).
Substituindo cada elemento de IM:
\[
\begin{aligned}
y=-1 &\Rightarrow x=3,\\
y=0 &\Rightarrow x=2,\\
y=1 &\Rightarrow x=1,\\
y=2 &\Rightarrow x=0.
\end{aligned}
\]
Assim, o domínio é:
\[
\{0,1,2,3\}
\]
Resposta: Letra E.
Exercício 14: Observe a máquina transformadora equivalente à função \( f(x)=ax+b \). Determine os valores de \(a\) e \(b\) e a lei da função.
Solução
Dados:
\[
f(-1)=3 \Rightarrow -a+b=3
\]
\[
f(2)=9 \Rightarrow 2a+b=9
\]
Sistema:
\[
\begin{aligned}
-a + b &= 3\\
2a + b &= 9
\end{aligned}
\]
Subtraindo:
\[
3a = 6 \Rightarrow a = 2
\]
Substituindo:
\[
-2 + b = 3 \Rightarrow b=5
\]
Lei da função:
\[
f(x)=2x+5
\]
Exercício 15: Usando a lei obtida acima: \[ f(x)=2x+5, \] responda:
I – O elemento 3 do domínio tem que imagem?
\[
f(3)=2\cdot3+5=11
\]
II – Se \(f(x)=5\), qual é o valor de \(x\)?
\[
2x+5=5 \Rightarrow x=0
\]
Conclusão
A análise do domínio é uma habilidade fundamental para qualquer estudante de Matemática, pois funciona como o “primeiro filtro” para compreender o comportamento de uma função. Ao longo dos exercícios apresentados, foi possível observar como pequenas alterações na expressão — como a presença de um radical, um denominador ou uma função composta — modificam completamente o conjunto de valores válidos para . Identificar essas restrições torna-se cada vez mais intuitivo com prática.
Com os exemplos resolvidos, você viu situações que envolvem polinômios, funções racionais simples e compostas, raízes quadradas, raízes cúbicas e até uma aplicação em contexto de prova. A partir daqui, você estará mais preparado para reconhecer rapidamente os casos em que a função deixa de existir, além de entender como o domínio influencia diretamente a imagem e o comportamento geral de cada expressão matemática. Continue praticando e explore outros tipos de funções para consolidar ainda mais seu domínio conceitual sobre o tema.
