Como Resolver EDO de 1ª Ordem: Métodos para EDO Exata, Separável e Linear

Este post explora a resolução de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) de 1ª ordem, abordando métodos para EDO exatas, separáveis e lineares, com exercícios resolvidos passo a passo.

Introdução

As Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) de 1ª ordem são fundamentais em várias áreas da matemática aplicada e das ciências. Neste post, abordaremos a resolução de EDO de 1ª ordem utilizando diferentes métodos, como a separação de variáveis, equações exatas e o fator integrante.

Cada técnica será explicada detalhadamente, e você encontrará exercícios resolvidos para praticar. Com um foco em equações lineares e exatas, você aprenderá a lidar com problemas que surgem em aplicações práticas. Se você está buscando dominar esses conceitos ou reforçar seu conhecimento, este guia completo é o lugar ideal para começar.

Exercícios Resolvidos sobre EDOs de 1ª Ordem

1) Resolva as E.D.O.’s de 1ª Ordem abaixo

a) sen(t) y' + cos(t)y = e^t , 0<t< \pi .

SOLUÇÃO: Dada a equação diferencial linear de primeira ordem:

$$
\text{sen}(t) y’ + \cos(t) y = e^t, \quad 0 < t < \pi,
$$

o objetivo é encontrar a solução para y(t). Primeiro, observamos que o lado esquerdo da equação se parece com a regra do produto para a derivada de \text{sen}(t) y. De fato, podemos escrever:

$$
\text{sen}(t) y’ + \cos(t) y = \frac{d}{dt} [\text{sen}(t) y].
$$

Portanto, a equação diferencial pode ser reescrita como:

$$
\frac{d}{dt} [\text{sen}(t) y] = e^t.
$$

Agora, integramos ambos os lados da equação com respeito a t:

$$
\int \frac{d}{dt} [\text{sen}(t) y] \, dt = \int e^t \, dt,
$$

o que nos dá:

$$
\text{sen}(t) y = e^t + C,
$$

onde C é a constante de integração. Para encontrar y(t), basta dividir ambos os lados por \text{sen}(t):

$$
y(t) = \frac{e^t + C}{\text{sen}(t)}.
$$

Finalmente, podemos separar as frações e escrever a solução usando a função cossecante (\csc(t) = 1/\text{sen}(t)):

$$
y(t) = C \csc(t) + e^t \csc(t).
$$

Essa é a solução geral da equação diferencial no intervalo 0 < t < \pi, onde \csc(t) é a função cossecante de t.

b) y' + y^2 sen(t) = 0 ;

SOLUÇÃO: Dada a equação diferencial:

$$
y’ + y^2 \sin(t) = 0,
$$

essa equação é separável. Primeiro, reescrevemos y' como \frac{dy}{dt} e rearranjamos os termos para separar as variáveis:

$$
\frac{dy}{dt} = -y^2 \sin(t).
$$

Agora, podemos separar as variáveis y e t da seguinte forma:

$$
\frac{dy}{y^2} = -\sin(t) \, dt.
$$

Em seguida, integramos ambos os lados. A integral do lado esquerdo, em relação a y, é:

$$
\int \frac{1}{y^2} \, dy = -\frac{1}{y},
$$

e a integral do lado direito, em relação a t, é:

$$
\int -\sin(t) \, dt = \cos(t).
$$

Portanto, obtemos:

$$
-\frac{1}{y} = \cos(t) + C,
$$

onde C é a constante de integração. Agora, isolamos y:

$$
y(t) = \frac{-1}{C + \cos(t)}.
$$

Essa é a solução geral da equação diferencial.

c) sen(2t)dt+cos(3y)dy = 0 ;

SOLUÇÃO: Dada a equação diferencial:

$$
\sin(2t) \, dt + \cos(3y) \, dy = 0,
$$

primeiro, separamos as variáveis:

$$
\sin(2t) \, dt = -\cos(3y) \, dy.
$$

Agora, integramos ambos os lados. A integral do lado esquerdo, em relação a t, é:

$$
\int \sin(2t) \, dt = -\frac{\cos(2t)}{2},
$$

e a integral do lado direito, em relação a y, é:

$$
\int -\cos(3y) \, dy = -\frac{\sin(3y)}{3}.
$$

Portanto, a equação integrada torna-se:

$$
-\frac{\cos(2t)}{2} = -\frac{\sin(3y)}{3} + C,
$$

onde C é a constante de integração. Agora, isolamos y:

$$
y(t) = \frac{\arcsin\left(3C + \frac{3\cos(2t)}{2}\right)}{3},
$$

ou

$$
y(t) = -\frac{\arcsin\left(3C + \frac{3\cos(2t)}{2}\right)}{3} + \frac{\pi}{3}.
$$

Essas são as soluções gerais da equação diferencial.

d) (9t^2 + y -1) dt - (4y-t) dy = 0 .

SOLUÇÃO: Considere a equação diferencial:

$$
(9t^2 + y – 1) \, dt – (4y – t) \, dy = 0.
$$

Sabemos que essa equação é exata se:

$$
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial t},
$$

onde M(t, y) = 9t^2 + y - 1 e N(t, y) = -(4y - t).

Calculamos as derivadas parciais:

$$
\frac{\partial M}{\partial y} = 1
$$
e
$$
\frac{\partial N}{\partial t} = 1.
$$

Como \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial t}, a equação é exata.

Agora, buscamos uma função \psi(t, y) tal que:

$$
\frac{\partial \psi}{\partial t} = M(t, y) = 9t^2 + y – 1
$$

e

$$
\frac{\partial \psi}{\partial y} = N(t, y) = -(4y – t).
$$

Agora, temos que integrar M(t, y) com relação a t

$$
\psi(t, y) = \int (9t^2 + y – 1) \, dt = 3t^3 + (y – 1)t + h(y),
$$

onde h(y) é uma função de y a ser determinada.

Em seguinda, derivamos \psi(t, y) com relação a y

$$
\frac{\partial \psi}{\partial y} = t + h'(y).
$$

Igualando com N(t, y)

Sabemos que:

$$
t + h'(y) = -(4y – t),
$$

então:

$$
h'(y) = -4y.
$$

Integrando h'(y)

$$
h(y) = -2y^2 + C.
$$

O que nos leva à solução geral

Substituímos h(y) na expressão de \psi(t, y):

$$
\psi(t, y) = 3t^3 + (y – 1)t – 2y^2 + C.
$$

A solução implícita da equação diferencial é:

$$
3t^3 + (y – 1)t – 2y^2 = C’,
$$

onde C' é uma constante.

2) Considere a equação (2y^2 - 6xy)dx+(3xy-4x^2)dy = 0 :

a) Mostre que esta equação não é exata;

SOLUÇÃO: A equação diferencial dada é:

$$
(2y^2 – 6xy) \, dx + (3xy – 4x^2) \, dy = 0.
$$

Definimos M(x, y) = 2y^2 - 6xy e N(x, y) = 3xy - 4x^2.

Para verificar se a equação é exata, comparamos as derivadas cruzadas:

$$
\frac{\partial M}{\partial y} = 4y – 6x,
$$

$$
\frac{\partial N}{\partial x} = 3y – 8x.
$$

Como \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x}, ou seja, 4y - 6x \neq 3y - 8x, a equação não é exata.

b) Multiplique o termo xy na equação e mostre que esta nova equação gerada é exata;

SOLUÇÃO: Multiplicamos a equação original:

$$
(2y^2 – 6xy) \, dx + (3xy – 4x^2) \, dy = 0
$$

por xy, obtendo:

$$
xy(2y^2 – 6xy) \, dx + xy(3xy – 4x^2) \, dy = 0,
$$

ou seja,

$$
(2xy^3 – 6x^2y^2) \, dx + (3x^2y^2 – 4x^3y) \, dy = 0.
$$

Agora, verificamos a condição de exatidão. Definimos:

M(x, y) = 2xy^3 - 6x^2y^2 e N(x, y) = 3x^2y^2 - 4x^3y.

Calculamos as derivadas parciais cruzadas:

$$
\frac{\partial M}{\partial y} = 6xy^2 – 12x^2y,
$$

$$
\frac{\partial N}{\partial x} = 6xy^2 – 12x^2y.
$$

Como \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}, a equação é exata.

c) Agora resolva esta equação exata;

SOLUÇÃO: Sabemos que existe uma função \psi(x, y) tal que:

$$
\frac{\partial \psi}{\partial x} = M(x, y) = 2xy^3 – 6x^2y^2,
$$

e

$$
\frac{\partial \psi}{\partial y} = N(x, y) = 3x^2y^2 – 4x^3y.
$$

Vamos integrar M(x, y) com relação a x

$$
\psi(x, y) = \int (2xy^3 – 6x^2y^2) \, dx = x^2y^3 – 2x^3y^2 + h(y),
$$

onde h(y) é uma função de y.

Agora, vamos derivar \psi(x, y) com relação a y

$$
\frac{\partial \psi}{\partial y} = 3x^2y^2 – 4x^3y + h'(y).
$$

Sabemos que:

$$
3x^2y^2 – 4x^3y + h'(y) = 3x^2y^2 – 4x^3y,
$$

então h'(y) = 0.

Logo,

$$
h(y) = C,
$$

onde C é uma constante de integração.

Portanto, a solução geral da equação é:

$$
x^2y^3 – 2x^3y^2 = C.
$$

3) Use a mudança de variável y = u \cdot x para transformar a equação $$(xy+y^2+x^2)dx-x^2dy = 0 \qquad (1)$$ em uma equação separável. Em seguida, dê uma solução para esta equação (1).

SOLUÇÃO: Dada a equação:

$$
(xy + y^2 + x^2) \, dx – x^2 \, dy = 0,
$$

dividimos por dx:

$$
(xy + y^2 + x^2) – x^2 \frac{dy}{dx} = 0.
$$

Agora, aplicamos a mudança de variável y = u \cdot x, com \frac{dy}{dx} = u + x \frac{du}{dx}. Substituímos:

$$
(x^2 u + u^2 x^2 + x^2) – x^2\left(u + x \frac{du}{dx}\right) = 0.
$$

Simplificando e cancelando x^2:

$$
u + u^2 + 1 = x \frac{du}{dx}.
$$

Agora, temos uma equação separável:

$$
\frac{du}{u^2 + 1} = \frac{dx}{x}.
$$

Integramos ambos os lados:

$$
\arctan(u) = \ln|x| + C.
$$

Substituímos u = \frac{y}{x}:

$$
\arctan\left(\frac{y}{x}\right) = \ln|x| + C.
$$

Essa é a solução geral da equação.

Conclusão

Dominar a resolução de EDO de 1ª ordem é essencial para compreender fenômenos em diversas áreas. Ao praticar esses métodos com os exercícios resolvidos, você estará preparado para enfrentar problemas mais avançados. Continue praticando e explorando novos desafios para aprimorar suas habilidades em equações diferenciais.

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